Dados os vetores:
\vec{a}=a_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+a_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+a_{z} \widehat{\boldsymbol{k}}, \vec{b}=b_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+b_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+b_{z} \widehat{\boldsymbol{k}}, \vec{c}=c_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+c_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+c_{z} \widehat{\boldsymbol{k}} e \vec{d}=d_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+d_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+d_{z} \widehat{\boldsymbol{k}} Mostre que:
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade do produto vetorial triplo, ou seja:
(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} \;=\;\vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})\;-\;\vec{a}\,(\vec{b}\cdot\vec{c}).
O conteúdo é produto vetorial em notação índice, usando o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk} e o delta de Kronecker \delta_{ij}.

Passo 2

Em notação de índices com a convenção de soma de Einstein, as componentes do produto \vec{a}\times\vec{b} são
(\vec{a}\times\vec{b})_{i} =\epsilon_{ijk}\,a_{j}\,b_{k}.

Passo 3

Agora escrevemos as componentes de (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}:
\bigl((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}\bigr)_{i} =\epsilon_{imn}\,(\vec{a}\times\vec{b})_{m}\,c_{n} =\epsilon_{imn}\,\epsilon_{mpq}\,a_{p}\,b_{q}\,c_{n}.

Passo 4

Usamos a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita:
\epsilon_{imn}\,\epsilon_{mpq} =\delta_{ip}\,\delta_{nq}\;-\;\delta_{iq}\,\delta_{np}.

Passo 5

Substituindo na expressão e somando pelos índices repetidos:
\bigl((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}\bigr)_{i} =(\delta_{ip}\,\delta_{nq}-\delta_{iq}\,\delta_{np})\,a_{p}\,b_{q}\,c_{n} =a_{i}\,b_{q}\,c_{q}-b_{i}\,a_{p}\,c_{p}.
Reconhecendo b_{q}c_{q}=\vec{b}\cdot\vec{c} e a_{p}c_{p}=\vec{a}\cdot\vec{c}, temos
\bigl((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}\bigr)_{i} =b_{i}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-a_{i}\,(\vec{b}\cdot\vec{c}).

Passo 6

Voltando à notação vetorial,
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} =\vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{a}\,(\vec{b}\cdot\vec{c}).

Resposta

(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} =\vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{a}\,(\vec{b}\cdot\vec{c}).

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