Dados os vetores:
\vec{a}=a_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+a_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+a_{z} \widehat{\boldsymbol{k}}, \vec{b}=b_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+b_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+b_{z} \widehat{\boldsymbol{k}}, \vec{c}=c_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+c_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+c_{z} \widehat{\boldsymbol{k}} e \vec{d}=d_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+d_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+d_{z} \widehat{\boldsymbol{k}}
Mostre que:
\vec{a} x(\vec{b} x \vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade do produto vetorial triplo
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\,\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\,\vec{c}.
O conteúdo usado será a definição componente a componente do produto vetorial via símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk} e a identidade
\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{klm} = \delta_{il}\,\delta_{jm} - \delta_{im}\,\delta_{jl},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker.

Passo 2

Escrevemos a componente i de \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) usando
[\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})]_i = \epsilon_{ijk}\,a_j\,[\vec{b}\times\vec{c}]_k \quad\text{e}\quad [\vec{b}\times\vec{c}]_k = \epsilon_{klm}\,b_l\,c_m.
Logo
[\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})]_i = \epsilon_{ijk}\,a_j\,\epsilon_{klm}\,b_l\,c_m.

Passo 3

Aplicamos a identidade entre dois símbolos de Levi-Civita:
\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{klm} = \delta_{il}\,\delta_{jm} \;-\;\delta_{im}\,\delta_{jl}.
Substituindo em cima:
[\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})]_i = (\delta_{il}\,\delta_{jm} - \delta_{im}\,\delta_{jl})\,a_j\,b_l\,c_m.

Passo 4

Distribuindo e usando \delta_{il}\,b_l=b_i e \delta_{jm}\,a_j\,c_m = \vec{a}\cdot\vec{c}, bem como \delta_{im}\,c_m=c_i e \delta_{jl}\,a_j\,b_l = \vec{a}\cdot\vec{b}, obtemos
[\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})]_i = a_j\,b_i\,c_j \;-\; a_j\,b_j\,c_i = (\vec{a}\cdot\vec{c})\,b_i \;-\; (\vec{a}\cdot\vec{b})\,c_i.

Passo 5

Reconhecendo que a expressão acima é justamente a componente i do vetor
(\vec{a}\cdot\vec{c})\,\vec{b} \;-\; (\vec{a}\cdot\vec{b})\,\vec{c},
concluímos que
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\,\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\,\vec{c}.

Resposta

\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})\,\vec{b} - (\vec{a}\cdot\vec{b})\,\vec{c}.

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