Questão 6 (0,5 ponto). Determine d fd t com F(x, y, t)=x, t=t^2, y=1, t e z=1+2 t

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y,z)=x,y,z e as parametrizações
x(t)=t^2, y(t)=1, z(t)=1+2t
O conteúdo a ser aplicado é a regra da cadeia para derivadas de funções de várias variáveis.

Passo 2

A regra da cadeia afirma que
d fd t =partial fpartial x,d xd t +partial fpartial y,d yd t +partial fpartial z,d zd t

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=y,z, partial fpartial y=x,z, partial fpartial z=x,y

Passo 4

Derivamos cada componente em função de t:
d xd t=2t, d yd t=0, d zd t=2

Passo 5

Substituindo na fórmula da regra da cadeia:
d fd t =(y,z)(2t)+(x,z)(0)+(x,y)(2) =2t,y,z+2,x,y

Passo 6

Voltando às expressões em t ( x=t^2, y=1, z=1+2t):
d fd t =2tcdot1cdot(1+2t)+2cdot t^2cdot1 =2t+4t^2+2t^2 =6t^2+2t

Resposta

d fd t=6t^2+2t

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