Questão 4 (1,0 ponto). Determine o ângulo das retas s:(x, y, z)=(1,0,0)+t(2,1,-1) e r: x-12=y=-z

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as retas s e r em R^3. Vamos usar o produto escalar e as normas dos vetores direção para encontrar esse ângulo.

Passo 2

Para a reta s, a equação paramétrica é
(x,y,z)=(1,0,0)+t,(2,1,-1)
Logo o vetor direção é vec vs=(2,1,-1).

Passo 3

Para a reta r, a equação simétrica é
x-12=y=-z
Chamando esse valor comum de u, temos
x-1=2u, y=u, -z=uimplies z=-u,
portanto o vetor direção é vec vr=(2,1,-1).

Passo 4

O ângulo theta entre as retas satisfaz
costheta=vec vscdotvec vr|vec vs|;|vec vr|

Passo 5

Calculamos o produto escalar e as normas:
vec vscdotvec vr=2cdot2+1cdot1+(-1)cdot(-1)=6,
|vec vs|=raiz2^2+1^2+(-1)^2=raiz6, |vec vr|=raiz6

Passo 6

Substituindo,
costheta=6raiz6,raiz6=1
logo theta=0^circ.

Resposta

theta=0^circ.

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