Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
Passo 1
Estamos diante de uma equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo envolvido é o de equações exatas. Para resolver, vamos escrever na forma
e verificar se é exata (isto é, se
).
Passo 2
Reescrevendo
multiplicamos ambos os lados por
, obtendo
Assim identificamos
Passo 3
Verificamos a condição de exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Para encontrar
, usamos
que deve ser igual a
. Assim
Logo
Passo 6
A solução geral é dada implicitamente por
isto é,
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução implícita geral é