Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=-2 x y+1x^2+2 y

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial de primeira ordem
dydx = -2xy+1x^2+2y
O conteúdo envolvido é o de equações exatas. Para resolver, vamos escrever na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificar se é exata (isto é, se partial M/partial y = partial N/partial x).

Passo 2

Reescrevendo
dydx = -2xy+1x^2+2y
multiplicamos ambos os lados por (x^2+2y),dx, obtendo
(2xy+1),dx + (x^2+2y),dy = 0
Assim identificamos
M(x,y) = 2xy+1, N(x,y) = x^2+2y

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y = 2x, partial Npartial x = 2x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y) = 2xy+1
Integramos em relação a x:
phi(x,y) = integral (2xy+1),dx = x^2y + x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Para encontrar h(y), usamos
partial phipartial y = x^2 + h'(y)
que deve ser igual a N(x,y)=x^2+2y. Assim
x^2 + h'(y) = x^2 + 2y Rightarrow h'(y) = 2y Rightarrow h(y) = y^2
Logo
phi(x,y) = x^2y + x + y^2

Passo 6

A solução geral é dada implicitamente por
phi(x,y) = C,
isto é,
x^2y + y^2 + x = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução implícita geral é
x^2y + y^2 + x = C

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