QUESTÃO 4 (1 ponto) - Determine a matriz A a partir da informação dada. \left(5 A^{T}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{cc}4 & 4 \\\\ -2 & 0\end{array}\right] Passo 1O enunciado dá \bigl(5A^{T}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 4\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix} e pede A. O conteúdo aqui é inversão de matriz e propriedades de transposta. Vamos usar (kM)^{-1}=M^{-1}k^{-1} para escalar k, (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}, e em seguida inverter para achar A. Passo 2Aplicando (5A^{T})^{-1}=(A^{T})^{-1}\cdot5^{-1}, obtemos \frac{1}{5}(A^{T})^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 4\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix}. Multiplicando ambos os lados por 5, (A^{T})^{-1} = 5\, \begin{pmatrix} 4 & 4\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 20\\\\ -10 & 0 \end{pmatrix}. Passo 3Usamos (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}. Logo, A^{-1} = \bigl((A^{T})^{-1}\bigr)^{T} = \begin{pmatrix} 20 & -10\\\\ 20 & 0 \end{pmatrix}. Passo 4Agora invertemos A^{-1}. Seja N = A^{-1} = \begin{pmatrix} 20 & -10\\\\ 20 & 0 \end{pmatrix}, \det N = 20\cdot0 - 20\cdot(-10)=200. Então A = N^{-1} = \frac{1}{200} \begin{pmatrix} 0 & 10\\\\ -20 & 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{20}\\\\ -\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} \end{pmatrix}. Resposta A = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{20}\\\\ -\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQUESTÃO 3 (1 ponto) - Resolva a equações matriciais em X. \begin{gathered} X\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\\\ 4 & -5 & 2 \\\\ -1 & 2 & -4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -12 & 16 & -29 \\\\ -9 & 10 & 16 \end{array}\right] \\\ {\left[\begin{array}{cc} -2 & -4 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right] X-X\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\\\ -4 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 12 & -10 \\\\ 10 & 4 \end{array}\right]} \end{gathered} QUESTÃO 2 (1 ponto) - Use a expansão por cofatores ou as operações elementares para calcular o determinante das matrizes A e B abaixo. Qual é o determinante da matriz (2 A B)^{-1} ? A=\left[\begin{array}{ccccc} 5 & 3 & -1 & -1 & -2 \\\\ -5 & 2 & -3 & 2 & 4 \\\\ 4 & -5 & -5 & -3 & 1 \\\\ 4 & 5 & -5 & 0 & -2 \\\\ 2 & 4 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccccc} 2 & 5 & -4 & -5 & 1 \\\\ 0 & -1 & 2 & -4 & 3 \\\\ 2 & -3 & 3 & -2 & -5 \\\\ 0 & 2 & 1 & -4 & -3 \\\\ -2 & 3 & -3 & -4 & 3 \end{array}\right] QUESTÃO 4 (1 ponto) - Determine a matriz A a partir da informação dada. (I+2 A)=\left[\begin{array}{cc}9 & -4 \\\\ -4 & -1\end{array}\right] Questão 7 (1 ponto) (a) Mostre que se D=\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right] é uma matriz diagonal 2 \times 2 com a \neq b, então as únicas matrizes que comutam (sob multiplicação de matrizes) \operatorname{com} D são outras matrizes diagonais 2 \times 2. (b) E se a= b ? (c) Encontre todas as matrizes que comutam com D=\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & 0 \\\\ 0 & 0 & c\end{array}\right], onde a, b, c são todas diferentes. (d) Responda à mesma pergunta para o caso em que a \neq b=c. (e) Prove que uma matriz A comuta com uma matriz diagonal \mathrm{n} \times \mathrm{n} D com todas as entradas diagonais distintas se e somente se A for uma matriz diagonal.