QUESTÃO 4 (1 ponto) - Determine a matriz A a partir da informação dada.
\left(5 A^{T}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{cc}4 & 4 \\\\ -2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá
\bigl(5A^{T}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 4\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix}
e pede A.
O conteúdo aqui é inversão de matriz e propriedades de transposta. Vamos usar
  1. (kM)^{-1}=M^{-1}k^{-1} para escalar k,
  2. (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T},
  3. e em seguida inverter para achar A.

Passo 2

Aplicando (5A^{T})^{-1}=(A^{T})^{-1}\cdot5^{-1}, obtemos
\frac{1}{5}(A^{T})^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 4\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplicando ambos os lados por 5,
(A^{T})^{-1} = 5\, \begin{pmatrix} 4 & 4\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 20\\\\ -10 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}. Logo,
A^{-1} = \bigl((A^{T})^{-1}\bigr)^{T} = \begin{pmatrix} 20 & -10\\\\ 20 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora invertemos A^{-1}. Seja
N = A^{-1} = \begin{pmatrix} 20 & -10\\\\ 20 & 0 \end{pmatrix}, \det N = 20\cdot0 - 20\cdot(-10)=200. Então
A = N^{-1} = \frac{1}{200} \begin{pmatrix} 0 & 10\\\\ -20 & 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{20}\\\\ -\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} \end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{20}\\\\ -\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} \end{pmatrix}.

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