QUESTÃO 2 (1 ponto) - Use a expansão por cofatores ou as operações elementares para calcular o determinante das matrizes A e B abaixo. Qual é o determinante da matriz (2 A B)^{-1} ?
A=\left[\begin{array}{ccccc} 5 & 3 & -1 & -1 & -2 \\\\ -5 & 2 & -3 & 2 & 4 \\\\ 4 & -5 & -5 & -3 & 1 \\\\ 4 & 5 & -5 & 0 & -2 \\\\ 2 & 4 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccccc} 2 & 5 & -4 & -5 & 1 \\\\ 0 & -1 & 2 & -4 & 3 \\\\ 2 & -3 & 3 & -2 & -5 \\\\ 0 & 2 & 1 & -4 & -3 \\\\ -2 & 3 & -3 & -4 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A\in\mathbb{R}^{5\times5},\quad B\in\mathbb{R}^{5\times5}
e pede o determinante de (2AB)^{-1}. Vamos usar a propriedade
\det(2AB)=2^{5}\,\det(A)\,\det(B),
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\det\bigl((2AB)^{-1}\bigr) =\frac{1}{\det(2AB)} =\frac{1}{2^{5}\,\det(A)\,\det(B)}.
Precisamos então calcular \det(A) e \det(B).

Passo 2

Cálculo de \det(A) por operações elementares e expansão:
  1. Eliminamos a coluna 1 de A sem gerar frações, obtendo após algumas combinações uma forma
M=\begin{pmatrix} 5 & 3 & -1 & -1 & -2\\\\ 0 & 5 & -4 & 1 & 2\\\\ 0 & -37 & -21 & -11 & 13\\\\ 0 & 13 & -21 & 4 & -2\\\\ 0 & 14 & -13 & 2 & 9 \end{pmatrix},
onde as operações escalaram o determinante em 5\cdot5\cdot5=125.
2. Expansão pela primeira linha dá
\det(M) =5\;\det\!\begin{pmatrix} 5 & -4 & 1 & 2\\\\ -37 & -21 & -11 & 13\\\\ 13 & -21 & 4 & -2\\\\ 14 & -13 & 2 & 9 \end{pmatrix} =5\,\det(N),
e portanto \det(A)=\det(M)/125=\det(N)/25.
3. Repetindo eliminação em N (mais escalações por fator 5^3=125) e expandindo sobra o 3\times3
P=\begin{pmatrix} -253 & -18 & 139\\\\ -53 & 7 & -36\\\\ -9 & -4 & 17 \end{pmatrix} \quad\text{com}\quad \det(P)=22500.
No fim obtém-se
\det(A)=\frac{\det(P)}{625} =\frac{22500}{625} =36.

Passo 3

Cálculo de \det(B) por eliminação simples na primeira coluna:
  1. Usando R_{3}\!\to R_{3}-R_{1} e R_{5}\!\to R_{5}+R_{1} anula-se a coluna 1 abaixo de b_{11}=2.
  2. Expansão pela primeira linha dá
\det(B) =2\;\det\!\begin{pmatrix} -1 & 2 & -4 & 3\\\\ -8 & 7 & 3 & -6\\\\ 2 & 1 & -4 & -3\\\\ 8 & -7 & -9 & 4 \end{pmatrix} =2\,\det(Q).
  1. Eliminando a primeira coluna de Q por operações de linha e expandindo sobra o 3\times3
R=\begin{pmatrix} -9 & 35 & -30\\\\ 5 & -12 & 3\\\\ 9 & -41 & 28 \end{pmatrix} \quad\text{com}\quad \det(R)=872.
Considerando o sinal da expansão, chega-se a
\det(Q)=-872 \quad\Longrightarrow\quad \det(B)=2\cdot(-872)=-1744.

Passo 4

Agora usamos
\det\bigl((2AB)^{-1}\bigr) =\frac{1}{2^{5}\,\det(A)\,\det(B)} =\frac{1}{32\cdot 36\cdot(-1744)} =-\frac{1}{2\,009\,088}.

Resposta

-\frac{1}{2\,009\,088}

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