QUESTÃO 3 (1 ponto) - Resolva a equações matriciais em X.
\begin{gathered} X\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\\\ 4 & -5 & 2 \\\\ -1 & 2 & -4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -12 & 16 & -29 \\\\ -9 & 10 & 16 \end{array}\right] \\\ {\left[\begin{array}{cc} -2 & -4 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right] X-X\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\\\ -4 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 12 & -10 \\\\ 10 & 4 \end{array}\right]} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para resolver duas equações matriciais em X:
1.
X \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ 4 & -5 & 2\\\\ -1 & 2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & 16 & -29\\\\ -9 & 10 & 16 \end{pmatrix}
Aqui X é 2\times3, e usaremos que, se A é invertível, então X\,A=B implica X = B\,A^{-1}.
2.
\begin{pmatrix} -2 & -4\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} X - X \begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ -4 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -10\\\\ 10 & 4 \end{pmatrix}
Aqui X é 2\times2 e vamos escrever X=(x_{ij}), calcular CX e X D, igualar a E e resolver o sistema linear para os x_{ij}.

Passo 2

Primeira equação: chamemos
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ 4 & -5 & 2\\\\ -1 & 2 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -12 & 16 & -29\\\\ -9 & 10 & 16 \end{pmatrix}.
1. Calculamos \det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-5&2\\\ 2&-4\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\!\begin{pmatrix}4&2\\\ -1&-4\end{pmatrix} +3\cdot\det\!\begin{pmatrix}4&-5\\\ -1&2\end{pmatrix} =16-(-14)+9=11.
2. Encontramos a matriz dos cofatores C e, em seguida, a adjunta \operatorname{adj}(A)=C^{T}:
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} 16 & 2 & 13\\\\ 14 & -1 & 10\\\\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
3. Logo
A^{-1}=\frac{1}{11}\, \begin{pmatrix} 16 & 2 & 13\\\\ 14 & -1 & 10\\\\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad X = B\,A^{-1} =\frac{1}{11}\,B\;\operatorname{adj}(A).
4. Calculando B\,\operatorname{adj}(A):
B\,\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} -55 & -11 & 33\\\\ 44 & -44 & -33 \end{pmatrix}
e dividindo por 11 obtém-se
X = \begin{pmatrix} -5 & -1 & 3\\\\ 4 & -4 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Segunda equação: seja
C=\begin{pmatrix}-2&-4\\\ -1&1\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}2&3\\\ -4&-3\end{pmatrix}, \quad E=\begin{pmatrix}12&-10\\\ 10&4\end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}.
1. Escrevemos CX\) e \(XD\) e igualamos a \(E\), obtendo o sistema linear: \[\begin{cases} -x_{11}+x_{12}-x_{21}=3,\\\\ -3x_{11}+x_{12}-4x_{22}=-10,\\\\ -\,x_{11}-x_{21}+4x_{22}=10,\\\\ -\,x_{12}-3x_{21}+4x_{22}=4. \end{cases}
2. Da primeira equação vem (x_{12}=3+x_{11}+x_{21}]. Substituindo nas demais e eliminando, obtemos
x_{11}=1,\quad x_{22}=3,\quad x_{21}=1,\quad x_{12}=5.

Resposta

Para a primeira equação matricial,
X = \begin{pmatrix} -5 & -1 & 3\\\\ 4 & -4 & -3 \end{pmatrix}.
Para a segunda equação matricial,
X = \begin{pmatrix} 1 & 5\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

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