Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
g(x)=x^3 e^x

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de inflexão de g(x)=x^3e^x e os intervalos em que a concavidade é voltada para cima (isto é, onde g''(x)>0) ou para baixo (onde g''(x)<0). Para isso, vamos usar o fato de que a concavidade de uma função é dada pelo sinal da sua segunda derivada e que pontos de inflexão ocorrem onde g''(x)=0 e muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira derivada usando a regra do produto:
g'(x)=ddxl(x^3r),e^x+x^3,ddxl(e^xr) =3x^2e^x+x^3e^x =e^xl(x^3+3x^2r)

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada:
g''(x) =ddxl[e^xl(x^3+3x^2r)r] =e^xl(x^3+3x^2r)+e^xl(3x^2+6xr) =e^xl(x^3+6x^2+6xr)
Podemos escrever
g''(x)=e^x,xl(x^2+6x+6r)

Passo 4

Para achar as possíveis inflexões, resolvemos g''(x)=0. Como e^x>0 para todo x, basta anular
x,(x^2+6x+6)=0
Isso dá as raízes
x=0, x=-3-raiz3, x=-3+raiz3

Passo 5

Para determinar onde g''(x) é positivo ou negativo, analisamos o sinal de cada fator:
  • e^x>0 sempre.
  • O fator x é negativo se x<0 e positivo se x>0.
  • O polinômio q(x)=x^2+6x+6 tem raízes em x=-3pmraiz3, é positivo para x<-3-raiz3 e x>-3+raiz3, e negativo no intervalo -3-raiz3<x<-3+raiz3.
Fazendo o quadro de sinais de xcdot q(x) obtemos:
c|cccccc x & -infty & & -3-raiz3 & & -3+raiz3 & & 0 & & +inftyhline x & - & & 0 & & - & & - & & + q(x) & + & & 0 & & - & & + & & +hline xcdot q(x) & - & & 0 & & + & & - & & +
Portanto:
  • g''(x)<0 (concavidade para baixo) em
(-infty,,-3-raiz3);cup;(-3+raiz3,,0)
  • g''(x)>0 (concavidade para cima) em
(-3-raiz3,,-3+raiz3);cup;(0,,infty)

Passo 6

Como g''(x) muda de sinal em x=-3-raiz3, x=-3+raiz3 e x=0, esses são os pontos de inflexão. Suas coordenadas são:
l(-3-raiz3,,(-3-raiz3)^3e^-3-raiz3r), l(-3+raiz3,,(-3+raiz3)^3e^-3+raiz3r), (0,,0^3e^0)=(0,0)

Resposta

Pontos de inflexão:
l(-3-raiz3,,(-3-raiz3)^3e^-3-raiz3r), l(-3+raiz3,,(-3+raiz3)^3e^-3+raiz3r), (0,0)
Intervalos de concavidade para baixo:
(-infty,,-3-raiz3);cup;(-3+raiz3,,0)
Intervalos de concavidade para cima:
(-3-raiz3,,-3+raiz3);cup;(0,,infty)

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