Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de inflexão de
e os intervalos em que a concavidade é voltada para cima (isto é, onde
) ou para baixo (onde
). Para isso, vamos usar o fato de que a concavidade de uma função é dada pelo sinal da sua segunda derivada e que pontos de inflexão ocorrem onde
e muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, calculamos a primeira derivada usando a regra do produto:
Passo 3
Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada:
Podemos escrever
Passo 4
Para achar as possíveis inflexões, resolvemos
. Como
para todo
, basta anular
Isso dá as raízes
Passo 5
Para determinar onde
é positivo ou negativo, analisamos o sinal de cada fator:
-
sempre. - O fator
é negativo se e positivo se . - O polinômio
tem raízes em , é positivo para e , e negativo no intervalo .
Fazendo o quadro de sinais de
obtemos:
Portanto:
-
(concavidade para baixo) em
-
(concavidade para cima) em
Passo 6
Como
muda de sinal em
,
e
, esses são os pontos de inflexão. Suas coordenadas são:
Resposta
Pontos de inflexão:
Intervalos de concavidade para baixo:
Intervalos de concavidade para cima: