Considere a função f(x, y)=x^2+y^2-2 x e o ponto P0=(3,3). Determine:
a. A taxa de variação de f em P0 na direção do vetor u=(3,4).
b. A taxa de máxima variação de f em P0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2+y^2-2x
e o ponto P0=(3,3), e pede:
a) a derivada direcional de f em P0 na direção do vetor vec u=(3,4);
b) a taxa de variação máxima de f em P0.
Para isso vamos usar derivadas parciais, o conceito de gradiente e a definição de derivada direcional.

Passo 2

Lembrando que o gradiente é
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)
Como partial f/partial x=2x-2 e partial f/partial y=2y, temos
nabla f(x,y)=(2x-2,,2y)

Passo 3

Avaliaremos esse gradiente em P0=(3,3):
nabla f(P0)=(2cdot3-2,,2cdot3)=(4,6)

Passo 4

A derivada direcional de f em P0 na direção de vec u é
Dvec uf(P0)=nabla f(P0)cdothat u,
onde hat u=vec u/lVertvec urVert. Como
lVertvec urVert=raiz3^2+4^2=5, hat u=l(tfrac35,tfrac45r),
segue
Dvec uf(P0)=(4,6)cdotl(tfrac35,tfrac45r) =12+245 =365

Passo 5

A taxa de variação máxima de f em P0 é o módulo do gradiente em P0:
|nabla f(P0)|=raiz4^2+6^2=raiz52=2raiz13

Resposta

a. 365
b. 2raiz13

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