Encontrar todos os valores de
no intervalo
que satisfaz a equação dada:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores de
no intervalo
que satisfazem a equação
Informações relevantes dadas:
a incógnita é
;\n
o domínio considerado é o intervalo
;\n
a equação é um polinômio em
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: fatorar a expressão para reduzir a equação. Podemos fatorar
como fator comum. Escrevo a equação em forma fatorada:
Regra usada: se o produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Logo temos os casos
Passo 3
Para resolver a parte quadrática, faço a substituição temporária
. Assim resolvemos
Procuro fatorar o polinômio: precisamos de dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Isso permite fatorar:
Portanto as raízes são
Voltando à variável original, obtemos os possíveis valores
Passo 4
Agora transformamos cada condição
em valores de
no intervalo dado, usando a interpretação geométrica da função cosseno (coordenada
no círculo unitário) e conhecimentos sobre quadrantes e ângulos principais.
Caso
: o cosseno é zero quando o ponto do círculo unitário está nos pontos superior e inferior, isto é,
e
. Esses dois estão no intervalo
.
Passo 5
Caso
: o valor de referência (arco cujo cosseno é
) é
, porque
. O cosseno é positivo nos quadrantes I e IV, então os ângulos no intervalo
com cosseno
são
Passo 6
Caso
: isso ocorre apenas no ponto à esquerda do círculo unitário, que corresponde a
. Esse valor está no intervalo
.
Passo 7
Verificação rápida (checando os valores de
nas soluções encontradas): para
a expressão inicial fica zero por fator comum; para
,
para
,
Portanto todos os ângulos encontrados são soluções válidas.