Encontrar todos os valores de \theta no intervalo 0 \leq \theta<2 \pi que satisfaz a equação dada:
2 \cos ^{3} \theta+\cos ^{2} \theta-\cos \theta=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de \theta no intervalo 0 \leq \theta<2\pi que satisfazem a equação
2\cos^{3}\theta+\cos^{2}\theta-\cos\theta=0.
Informações relevantes dadas:
\;1) a incógnita é \theta;\n \;2) o domínio considerado é o intervalo [0,2\pi);\n \;3) a equação é um polinômio em \cos\theta.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: fatorar a expressão para reduzir a equação. Podemos fatorar \cos\theta como fator comum. Escrevo a equação em forma fatorada:
2\cos^{3}\theta+\cos^{2}\theta-\cos\theta=\cos\theta\bigl(2\cos^{2}\theta+\cos\theta-1\bigr)=0.
Regra usada: se o produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Logo temos os casos
\cos\theta=0 \quad\text{ou}\quad 2\cos^{2}\theta+\cos\theta-1=0.

Passo 3

Para resolver a parte quadrática, faço a substituição temporária u=\cos\theta. Assim resolvemos
2u^{2}+u-1=0.
Procuro fatorar o polinômio: precisamos de dois números cujo produto seja 2\cdot(-1)=-2 e cuja soma seja 1. Esses números são 2 e -1. Isso permite fatorar:
2u^{2}+u-1=(2u-1)(u+1).
Portanto as raízes são
u=\frac{1}{2}\quad\text{e}\quad u=-1.
Voltando à variável original, obtemos os possíveis valores
\cos\theta=0,\quad \cos\theta=\frac{1}{2},\quad \cos\theta=-1.

Passo 4

Agora transformamos cada condição \cos\theta=\cdots em valores de \theta no intervalo dado, usando a interpretação geométrica da função cosseno (coordenada x no círculo unitário) e conhecimentos sobre quadrantes e ângulos principais.
Caso \cos\theta=0: o cosseno é zero quando o ponto do círculo unitário está nos pontos superior e inferior, isto é, \theta=\frac{\pi}{2} e \theta=\frac{3\pi}{2}. Esses dois estão no intervalo [0,2\pi).

Passo 5

Caso \cos\theta=\frac{1}{2}: o valor de referência (arco cujo cosseno é \tfrac{1}{2}) é \theta_{\text{ref}}=\frac{\pi}{3}, porque \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}. O cosseno é positivo nos quadrantes I e IV, então os ângulos no intervalo [0,2\pi) com cosseno \tfrac{1}{2} são
\theta=\frac{\pi}{3}\quad\text{e}\quad \theta=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.

Passo 6

Caso \cos\theta=-1: isso ocorre apenas no ponto à esquerda do círculo unitário, que corresponde a \theta=\pi. Esse valor está no intervalo [0,2\pi).

Passo 7

Verificação rápida (checando os valores de \cos\theta nas soluções encontradas): para \cos\theta=0 a expressão inicial fica zero por fator comum; para \cos\theta=\tfrac{1}{2},
2\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{3}+\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}-\tfrac{1}{2} =2\cdot\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2} =\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=0;
para \cos\theta=-1,
2(-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)=-2+1+1=0.
Portanto todos os ângulos encontrados são soluções válidas.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{3}
\theta=\dfrac{\pi}{2}
\theta=\pi
\theta=\dfrac{3\pi}{2}
\theta=\dfrac{5\pi}{3}

Exercícios relacionados