Questão 1 (5,0 pontos - 1,0 cada)
Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é o quadrado do logaritmo natural de
. Note que
para todo
, então a função está definida em todos os reais.
Passo 2
Vamos lembrar a regra que vamos usar (explicação didática e passo a passo). Se tivermos uma função composta do tipo
então a derivada é dada pela regra da cadeia:
No nosso caso,
é a composição de três peças: o quadrado, o logaritmo natural e
. É prático identificar essas peças como funções intermediárias e aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 3
Definimos as funções internas para organizar:
e
de modo que
e
.
Agora calculamos derivadas das peças mais internas, começando por
. Como a derivada de
é
, temos
A derivada da função logaritmo natural
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia para
,
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia à função externa
. A derivada de
é
. Assim,
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Podemos escrever a resposta final de maneira mais limpa:
Como checagem rápida, calculemos
para ver se faz sentido:
e
, então
o que é um valor finito e consistente.