Questão 1 (5,0 pontos - 1,0 cada)
Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
f(x)=\left[\ln \left(1+e^{x}\right)\right]^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left[\ln\left(1+e^{x}\right)\right]^{2}.
Informações dadas: a função é o quadrado do logaritmo natural de 1+e^{x}. Note que 1+e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, então a função está definida em todos os reais.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que vamos usar (explicação didática e passo a passo). Se tivermos uma função composta do tipo
h(x)=\big(F(G(x))\big),
então a derivada é dada pela regra da cadeia:
h'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
No nosso caso, f é a composição de três peças: o quadrado, o logaritmo natural e 1+e^{x}. É prático identificar essas peças como funções intermediárias e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 3

Definimos as funções internas para organizar:
u(x)=\ln\big(1+e^{x}\big)
e
v(x)=1+e^{x},
de modo que u(x)=\ln(v(x)) e f(x)=[u(x)]^{2}.
Agora calculamos derivadas das peças mais internas, começando por v(x). Como a derivada de e^{x} é e^{x}, temos
v'(x)=\big(1+e^{x}\big)'=0+e^{x}=e^{x}.
A derivada da função logaritmo natural \ln(z) em relação a z é 1/z. Aplicando a regra da cadeia para u(x)=\ln(v(x)),
u'(x)=\frac{v'(x)}{v(x)}=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia à função externa f(x)=[u(x)]^{2}. A derivada de w\mapsto w^{2} é 2w. Assim,
f'(x)=2\,u(x)\,u'(x).
Substituindo u(x)=\ln\big(1+e^{x}\big) e u'(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}, obtemos
f'(x)=2\ln\big(1+e^{x}\big)\cdot\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.

Passo 5

Podemos escrever a resposta final de maneira mais limpa:
f'(x)=\frac{2e^{x}\,\ln\big(1+e^{x}\big)}{1+e^{x}}.
Como checagem rápida, calculemos f'(0) para ver se faz sentido: \ln(1+e^{0})=\ln 2 e e^{0}/(1+e^{0})=1/2, então
f'(0)=2\ln 2\cdot\frac{1}{2}=\ln 2,
o que é um valor finito e consistente.

Resposta

f'(x)=\frac{2e^{x}\,\ln\big(1+e^{x}\big)}{1+e^{x}}

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