Questão 1 (5,0 pontos - 1,0 cada)
Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
f(x)=7^{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a derivada de f:
f(x)=7^{1+x^{2}}.
Pergunta: calcular f'(x).
Informações relevantes: a base da exponencial é a constante 7 e o expoente é a função 1+x^{2}.

Passo 2

Vamos aprender a regra que usamos aqui. Para uma função da forma \,a^{u(x)} com a>0 constante e u(x) diferenciável, é prático escrever:
a^{u(x)} = e^{u(x)\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a (uma constante porque a é constante). Diferenciando usando a regra da cadeia para exponenciais, obtemos
\frac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big) = \frac{d}{dx}\big(e^{u(x)\ln a}\big) = e^{u(x)\ln a}\cdot\big(u'(x)\ln a\big).
Voltando à base a, isso dá a fórmula prática:
\frac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big) = a^{u(x)}\cdot u'(x)\cdot\ln a.
Explicando as partes: u'(x) é a derivada do expoente em relação a x; \ln a é uma constante; a^{u(x)} é a própria função. Esta é a regra que vamos aplicar.

Passo 3

Identificamos o expoente u(x) na nossa função:
u(x)=1+x^{2}.
Agora calculamos a derivada u'(x). A derivada de uma soma é a soma das derivadas e a regra do poder diz que \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}. Assim:
\frac{d}{dx}(1)=0,\qquad \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Portanto
u'(x)=0+2x=2x.

Passo 4

Aplique a fórmula do Passo 2 com a=7 e u'(x)=2x. Assim
f'(x)=7^{1+x^{2}}\cdot(2x)\cdot\ln 7.
Podemos escrever numa ordem mais agradável:
f'(x)=2x\ln 7\;7^{1+x^{2}}.

Passo 5

Dica extra para a prova: às vezes é útil reescrever 7^{1+x^{2}}=7\cdot 7^{x^{2}}. Então uma forma equivalente da derivada é
f'(x)=2x\ln 7\cdot 7\cdot 7^{x^{2}} = 14x\ln 7\;7^{x^{2}}.
Exemplo rápido de verificação: em x=0 temos f(0)=7^{1}=7 e f'(0)=2\cdot0\cdot\ln 7\cdot7^{1}=0, o que bate com a presença do fator x em f'(x). Força aí — essa é a técnica padrão para derivar exponencial com expoente função!

Resposta

\displaystyle f'(x)=2x\ln 7\;7^{1+x^{2}}

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