Questão 1 (5,0 pontos - 1,0 cada)
Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
:
Pergunta: calcular
.
Informações relevantes: a base da exponencial é a constante e o expoente é a função
.
Informações relevantes: a base da exponencial é a constante
Passo 2
Vamos aprender a regra que usamos aqui. Para uma função da forma
com
constante e
diferenciável, é prático escrever:
onde
é o logaritmo natural de
(uma constante porque
é constante). Diferenciando usando a regra da cadeia para exponenciais, obtemos
Voltando à base
, isso dá a fórmula prática:
Explicando as partes:
é a derivada do expoente em relação a
;
é uma constante;
é a própria função. Esta é a regra que vamos aplicar.
Passo 3
Identificamos o expoente
na nossa função:
Agora calculamos a derivada
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e a regra do poder diz que
. Assim:
Portanto
Passo 4
Aplique a fórmula do Passo 2 com
e
. Assim
Podemos escrever numa ordem mais agradável:
Passo 5
Dica extra para a prova: às vezes é útil reescrever
. Então uma forma equivalente da derivada é
Exemplo rápido de verificação: em
temos
e
, o que bate com a presença do fator
em
. Força aí — essa é a técnica padrão para derivar exponencial com expoente função!