Exercício 12. (F. 3.5, ex.4) Ache os autovalores e autofunções normalizadas para o problema
,
em
? Use o exercício 7 .
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de autovalores
com as condições de contorno
O conteúdo envolve resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem e aplicar as condições de contorno para determinar valores não-triviais de
(autovalores) e as correspondentes funções
(autofunções). Em seguida, vamos normalizar as autofunções usando a ortogonalidade em
.
Passo 2
Analisamos os três casos possíveis para
:
(i) , escrevendo
. A solução geral é
. A condição
dá
, logo
. Mas
só admite
. Sem solução não-trivial.
(ii) . A equação vira
com solução
. A condição
dá
, e
leva de novo à única solução trivial.
(iii) , escrevendo
. É este caso que gera autovalores não-triviais.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 3
Para
, a solução geral é
A condição
implica
como
, segue
. Assim
A condição
exige
, ou seja
Logo os autovalores são
Passo 4
As autofunções (a menos de constante) são
Para normalizar, usamos
pois
. Impomos
de onde