Exercício 12. (F. 3.5, ex.4) Ache os autovalores e autofunções normalizadas para o problema f^prime prime+lambda f=0, f^prime(0)=0, f(l)=0 em [0, l] ? Use o exercício 7 .

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de autovalores
f''(x)+lambda f(x)=0, xin[0,l],
com as condições de contorno
f'(0)=0, f(l)=0
O conteúdo envolve resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem e aplicar as condições de contorno para determinar valores não-triviais de lambda (autovalores) e as correspondentes funções f (autofunções). Em seguida, vamos normalizar as autofunções usando a ortogonalidade em [0,l].

Passo 2

Analisamos os três casos possíveis para lambda:
(i) lambda<0, escrevendo lambda=-mu^2. A solução geral é f(x)=A e^mu x+B e^-mu x. A condição f'(0)=0 A=B, logo f(x)=Ccosh(mu x). Mas f(l)=Ccosh(mu l)=0 só admite C=0. Sem solução não-trivial.
(ii) lambda=0. A equação vira f''=0 com solução f(x)=Ax+B. A condição f'(0)=A=0 f(x)=B, e f(l)=B=0 leva de novo à única solução trivial.
(iii) lambda>0, escrevendo lambda=k^2. É este caso que gera autovalores não-triviais.

Passo 3

Para lambda=k^2>0, a solução geral é
f(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)
A condição f'(0)=0 implica
f'(x)=-A,ksin(kx)+B,kcos(kx)Rightarrow f'(0)=B,k=0
como kneq0, segue B=0. Assim
f(x)=Acos(kx)
A condição f(l)=0 exige cos(k,l)=0, ou seja
k,l=(2n+1)pi2, n=0,1,2,dots
Logo os autovalores são
lambdan = kn^2 = ((2n+1)pi2,l)^2

Passo 4

As autofunções (a menos de constante) são
fn(x)=Ancos!l(kn xr) com kn=(2n+1)pi2,l
Para normalizar, usamos
integral0^lcos^2(kn x),dx =l2+sin(2kn l)4kn =l2,
pois sin(2kn l)=sinl((2n+1)pir)=0. Impomos
integral0^l|fn(x)|^2,dx =An^2integral0^lcos^2(kn x),dx =An^2l2=1
de onde
An=raiz2l

Resposta

lambdan = ((2n+1)pi2,l)^2, fn(x)=raiz2l;cos!l(tfrac(2n+1)pi2,l,xr), n=0,1,2,dots

Exercícios relacionados