Seja
g(x)=\int_{0}^{x^{2}} t \cos \left(\frac{t}{2}\right) d t
Mostre que g^{\prime}(x)=2 x^{3} \cos \left(\frac{x^{2}}{2}\right).

Passo 1

O enunciado define a função
g(x) = \int_{0}^{x^{2}} t \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(u) = \int_{0}^{u} f(t)\,dt,
então
\frac{d}{du}G(u) = f(u).
No nosso caso, f(t) = t \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) e o limite superior é u(x)=x^2. Logo,
g(x) = G\bigl(u(x)\bigr) \quad\text{com}\quad G(u) = \int_{0}^{u} t \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\,dt.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia:
g'(x) = G'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Pelo Teorema Fundamental,
G'\bigl(u(x)\bigr) = f\bigl(u(x)\bigr) = u(x)\,\cos\!\bigl(\tfrac{u(x)}{2}\bigr) = x^2 \cos\!\bigl(\tfrac{x^2}{2}\bigr).

Passo 4

Calculamos u'(x). Como u(x)=x^2, temos
u'(x) = 2x.
Portanto, juntando tudo:
g'(x) = \bigl[x^2 \cos\!\bigl(\tfrac{x^2}{2}\bigr)\bigr]\times(2x) = 2x^3 \cos\!\bigl(\tfrac{x^2}{2}\bigr).

Resposta

g'(x)=2x^3 \cos\!\bigl(\tfrac{x^2}{2}\bigr).

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