Questão 5. (2,5 pontos) Resolva a E.D.O usando o método da redução a E.D.O O homogênea.
Passo 1
A equação dada é uma E.D.O. de primeira ordem não homogênea do tipo razão de funções lineares em e . Para resolver vamos usar o método de redução a E.D.O. homogênea por mudança de variáveis (translação do sistema de coordenadas).
Passo 2
Precisamos encontrar o ponto que zera simultaneamente o numerador e o denominador . Resolvendo o sistema
obtemos
Passo 3
Fazendo a mudança de variáveis
a E.D.O. fica
que é de fato homogênea (graus iguais em ).
Passo 4
Para resolver a homogênea, definimos , logo e
Substituindo,
Passando para o lado esquerdo:
Passo 5
Separamos variáveis:
Observe que, com , temos . Então
Portanto
ou
Passo 6
Voltando v = Y/X e juntando os logaritmos:
lnl|(tfracYX)^2 + 6tfracYX - 2r| + 2ln|X| = C2
implica
l((Y/X)^2 + 6(Y/X) - 2r)X^2 = C,
isto é
Y^2 + 6XY - 2X^2 = C
Passo 7
Agora voltamos à coordenada original usando X = x - 7/11 e Y = y - 1/11. A solução geral fica então