Questão 5. (2,5 pontos) Resolva a E.D.O d yd x=2 x-3 y-13 x+y-2 usando o método da redução a E.D.O O homogênea.

Passo 1

A equação dada é uma E.D.O. de primeira ordem não homogênea do tipo razão de funções lineares em x e y. Para resolver vamos usar o método de redução a E.D.O. homogênea por mudança de variáveis (translação do sistema de coordenadas).

Passo 2

Precisamos encontrar o ponto (x0,y0) que zera simultaneamente o numerador 2x-3y-1 e o denominador 3x+y-2. Resolvendo o sistema
2x-3y-1=0 3x+y-2=0
obtemos
x0=711, y0=111

Passo 3

Fazendo a mudança de variáveis
X = x - 711, Y = y - 111,
a E.D.O. fica
dYdX = 2X - 3Y3X + Y,
que é de fato homogênea (graus iguais em X,Y).

Passo 4

Para resolver a homogênea, definimos v = Y/X, logo Y = vX e
dYdX = v + XdvdX
Substituindo,
v + XdvdX = 2 - 3v3 + v
Passando v para o lado esquerdo:
XdvdX = 2 - 3v3 + v - v = -v^2 + 6v - 23 + v

Passo 5

Separamos variáveis:
3 + vv^2 + 6v - 2,dv = -dXX
Observe que, com u = v^2 + 6v - 2, temos du = 2(v+3),dv. Então
integral 3 + vv^2 + 6v - 2,dv = 12 integral duu = 12 ln|u| + C1
Portanto
12 ln|v^2 + 6v - 2| = -ln|X| + C1
ou
lnl|v^2 + 6v - 2r| + 2ln|X| = C2

Passo 6

Voltando v = Y/X e juntando os logaritmos:
lnl|(tfracYX)^2 + 6tfracYX - 2r| + 2ln|X| = C2
implica
l((Y/X)^2 + 6(Y/X) - 2r)X^2 = C,
isto é
Y^2 + 6XY - 2X^2 = C

Passo 7

Agora voltamos à coordenada original usando X = x - 7/11 e Y = y - 1/11. A solução geral fica então
l(y - tfrac111r)^2 + 6l(x - tfrac711r)l(y - tfrac111r) - 2l(x - tfrac711r)^2 = C

Resposta

(y - tfrac111)^2 + 6(x - tfrac711)(y - tfrac111) - 2(x - tfrac711)^2 = C, onde C é a constante de integração.

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