Exercício 6)

Example 6.7 Conservative or not conservative?

Show that the field \boldsymbol{F}_{1}=-2 x \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{y} \boldsymbol{j}-2 z \boldsymbol{k} is conservative but that the field \boldsymbol{F}_{2}= y \boldsymbol{i}-x \boldsymbol{j} is not.

Passo 1

O enunciado pede para testar se os campos vetoriais \boldsymbol{F}_{1} = -2x\,\boldsymbol{i} - 2y\,\boldsymbol{j} - 2z\,\boldsymbol{k} em \mathbb{R}^3
e \boldsymbol{F}_{2} = y\,\boldsymbol{i} - x\,\boldsymbol{j} em \mathbb{R}^2
são conservativos.
Conteúdo envolvido: definição de campo conservativo, teste via rotacional (curl) em domínio simplesmente-conexo e, no caso positivo, construção de uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi = \boldsymbol{F}.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \boldsymbol{F}_{1} via determinante:
\nabla \times \boldsymbol{F}_{1} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\[6pt] \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] -2x & -2y & -2z \end{vmatrix} = (0,0,0).
Como o domínio \mathbb{R}^3 é simplesmente-conexo e o rotacional é nulo em toda parte, concluímos que \boldsymbol{F}_{1} é conservativo.]

Passo 3

Para encontrar a função potencial \varphi(x,y,z) satisfazendo \nabla\varphi=\boldsymbol{F}_{1}, integramos componente a componente:
— Da primeira componente, \partial\varphi/\partial x = -2x, obtemos
\varphi(x,y,z) = -x^2 + g(y,z).
— Da segunda, \partial\varphi/\partial y = -2y implica g(y,z) = -y^2 + h(z).
— Da terceira, \partial\varphi/\partial z = -2z implica h(z) = -z^2 + C.
Logo
\varphi(x,y,z) = -(x^2 + y^2 + z^2) + C,
que de fato satisfaz \nabla\varphi = \boldsymbol{F}_{1}.

Passo 4

Agora o rotacional de \boldsymbol{F}_{2}=(P,Q,0) em \mathbb{R}^3 (estendendo trivialmente a componente z) é
\nabla \times \boldsymbol{F}_{2} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\[6pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\[6pt] y & -x & 0 \end{vmatrix} = \bigl(0,\,0,\,\partial_x(-x)-\partial_y(y)\bigr) = (0,0,-2)\neq(0,0,0).
Como o rotacional não se anula, \boldsymbol{F}_{2} não é conservativo.]

Resposta

\boldsymbol{F}_{1} é conservativo (pois \nabla\times\boldsymbol{F}_{1}=0 e admite potencial \varphi=-(x^2+y^2+z^2)+C); \boldsymbol{F}_{2} não é conservativo (pois \nabla\times\boldsymbol{F}_{2}=(0,0,-2)\neq0).

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