Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
\left(1\right. ponto) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{4}+1}.

Passo 1

O enunciado dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{4}+1}
e pede para determinar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que temos explicitamente do enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{4}+1}.
  • A soma é sobre n de 1 a \infty.
  • Todos os termos são não negativos (positivos na verdade, para n\ge1).

Passo 2

Vou escolher um método para decidir a convergência. Há duas ideias óbvias aqui: comparar diretamente com uma série conhecida (uma série p) ou usar o teste da comparação pelo limite. Ambas funcionam, mas a comparação direta é mais simples neste caso porque dá uma desigualdade elementar e imediata. Portanto vou usar o teste da comparação direta com a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}, que é a famosa série p com p=2.

Passo 3

Explico o teste de comparação direta que vou usar (aulas rápidas, sem exagero):
  • Teste da comparação direta (versão usada): se 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n suficientemente grande e a série \sum b_{n} converge, então a série \sum a_{n} também converge. Intuição: se cada termo de \sum a_{n} é menor que o correspondente de uma série convergente, somar os menores também dá algo finito.
  • Vou também usar o fato conhecido sobre séries p: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Em particular, para p=2 temos convergência. Uma justificativa rápida do fato (pela prova do teste integral): considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1. Para p\neq1 vale
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{1}^{\infty},
o qual é finito exatamente quando -p+1<0, isto é, p>1. Pelo teste integral (ou por comparação adequada), isso implica que \sum 1/n^{p} converge se p>1. Para p=2 a integral é convergente, então \sum 1/n^{2} converge.

Passo 4

Agora aplico a comparação ao nosso termo. Para todo n\ge1 temos a desigualdade elementar
n^{4}+1 \ge n^{4},
logo, dividindo ambos os lados por n^{4}(n^{4}+1) positivo, obtemos
\frac{n^{2}}{n^{4}+1} \le \frac{n^{2}}{n^{4}} = \frac{1}{n^{2}}.
Portanto para todo n\ge1 vale
0\le a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{4}+1}\le \frac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Como já explicamos, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é convergente (é a série p com p=2>1). Pelo teste da comparação direta, já que 0\le a_{n}\le 1/n^{2} para todo n e a maiorante \sum 1/n^{2} converge, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{4}+1}
também converge.

Passo 6

Para reforçar a intuição: para n grande o termo geral tem comportamento assintótico \displaystyle \frac{n^{2}}{n^{4}+1}\sim\frac{1}{n^{2}}, então não é surpresa que a série tenha o mesmo destino da série \sum 1/n^{2}. Se preferir, poderia também usar o teste da comparação pelo limite e calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \frac{n^{2}}{n^{4}+1}}{\displaystyle \frac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}}{n^{4}+1}=1,
o que também mostra convergência (porque a série comparada converge).

Resposta

A série converge.

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