Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
ponto)
.
Passo 1
O enunciado dá a série de termos positivos
e pede para determinar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que temos explicitamente do enunciado:
- O termo geral é
. - A soma é sobre
de a . - Todos os termos são não negativos (positivos na verdade, para
).
Passo 2
Vou escolher um método para decidir a convergência. Há duas ideias óbvias aqui: comparar diretamente com uma série conhecida (uma série
) ou usar o teste da comparação pelo limite. Ambas funcionam, mas a comparação direta é mais simples neste caso porque dá uma desigualdade elementar e imediata. Portanto vou usar o teste da comparação direta com a série
, que é a famosa série
com
.
Passo 3
Explico o teste de comparação direta que vou usar (aulas rápidas, sem exagero):
- Teste da comparação direta (versão usada): se
para todo suficientemente grande e a série converge, então a série também converge. Intuição: se cada termo de é menor que o correspondente de uma série convergente, somar os menores também dá algo finito. - Vou também usar o fato conhecido sobre séries
: a série
converge se, e somente se,
. Em particular, para
temos convergência. Uma justificativa rápida do fato (pela prova do teste integral): considere a função
para
. Para
vale
o qual é finito exatamente quando
, isto é,
. Pelo teste integral (ou por comparação adequada), isso implica que
converge se
. Para
a integral é convergente, então
converge.
Passo 4
Agora aplico a comparação ao nosso termo. Para todo
temos a desigualdade elementar
logo, dividindo ambos os lados por
positivo, obtemos
Portanto para todo
vale
Passo 5
Como já explicamos, a série
é convergente (é a série
com
). Pelo teste da comparação direta, já que
para todo
e a maiorante
converge, a série
também converge.
Passo 6
Para reforçar a intuição: para
grande o termo geral tem comportamento assintótico
, então não é surpresa que a série tenha o mesmo destino da série
. Se preferir, poderia também usar o teste da comparação pelo limite e calcular
o que também mostra convergência (porque a série comparada converge).
Resposta
A série converge.