Questão 2. (2.0 pontos) Considere a EDO linear de coeficientes constantes y^{\prime\prime}+4 y^{\prime}+3 y=0 obtenha sua solução geral. Obtenha a solução do PVI quando y(0)=2 e y^{\prime}(0)=10.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede duas coisas:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+3y=0.
  • Condições iniciais (PVI): y(0)=2 e y^{\prime}(0)=10.
O que se pede:
  1. Obter a solução geral da EDO homogênea linear com coeficientes constantes.
  2. Obter a solução do problema de valor inicial (PVI) com as condições dadas.

Passo 2

Método que vamos usar (motivo e ideia): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial. Ou seja, assumimos uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa tentativa funciona porque derivar um exponencial apenas multiplica por r, então a equação diferencial em y vira uma equação algébrica em r (chamada equação característica).

Passo 3

Substituindo y(x)=e^{r x} na equação y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+3y=0 obtemos:
r^{2}e^{r x}+4r e^{r x}+3 e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e ficar com a equação característica
r^{2}+4r+3=0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica r^{2}+4r+3=0. Ela fatoriza facilmente:
r^{2}+4r+3=(r+1)(r+3)=0.
Logo as raízes são r_{1}=-1 e r_{2}=-3. Como as raízes são reais e distintas, a teoria nos diz que a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Primeiro calcule a derivada y^{\prime}(x):
y^{\prime}(x)=-C_{1}e^{-x}-3C_{2}e^{-3x}.
Avaliaremos em x=0. Como e^{0}=1, as condições iniciais viram o sistema linear
C_{1}+C_{2}=2,
- C_{1}-3C_{2}=10.

Passo 6

Resolvendo o sistema para C_{1} e C_{2}. Somando as duas equações:
(C_{1}-C_{1})+(C_{2}-3C_{2})=2+10 \quad\Rightarrow\quad -2C_{2}=12,
portanto
C_{2}=-6.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=2:
C_{1}+(-6)=2\quad\Rightarrow\quad C_{1}=8.

Passo 7

Assim, a solução do PVI (a solução particular que satisfaz as condições iniciais) é
y(x)=8e^{-x}-6e^{-3x}.
Breve verificação mental: e^{-x} e e^{-3x} satisfazem a EDO porque seus expoentes são as raízes da característica; a combinação linear também satisfaz a EDO por linearidade, e os coeficientes escolhidos foram determinados pelas condições em x=0.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-3x}
y(x)=8e^{-x}-6e^{-3x}

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