Questão 2. (2.0 pontos) Considere a EDO linear de coeficientes constantes
obtenha sua solução geral. Obtenha a solução do PVI quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede duas coisas:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais (PVI):
e .
O que se pede:
- Obter a solução geral da EDO homogênea linear com coeficientes constantes.
- Obter a solução do problema de valor inicial (PVI) com as condições dadas.
Passo 2
Método que vamos usar (motivo e ideia): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial. Ou seja, assumimos uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa tentativa funciona porque derivar um exponencial apenas multiplica por
, então a equação diferencial em
vira uma equação algébrica em
(chamada equação característica).
Passo 3
Substituindo
na equação
obtemos:
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficar com a equação característica
Passo 4
Resolvendo a equação característica
. Ela fatoriza facilmente:
Logo as raízes são
e
. Como as raízes são reais e distintas, a teoria nos diz que a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro calcule a derivada
:
Avaliaremos em
. Como
, as condições iniciais viram o sistema linear
Passo 6
Resolvendo o sistema para
e
. Somando as duas equações:
portanto
Substituindo em
:
Passo 7
Assim, a solução do PVI (a solução particular que satisfaz as condições iniciais) é
Breve verificação mental:
e
satisfazem a EDO porque seus expoentes são as raízes da característica; a combinação linear também satisfaz a EDO por linearidade, e os coeficientes escolhidos foram determinados pelas condições em
.