Questão 2: ( 1,0 ponto) \operatorname{Em} t_{1}=1,0 \mathrm{~s}, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido anti-horário é (-3 \hat{i}-4 \hat{j}) / 5 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Ela se move com velocidade escalar constante. Em t_{2}=7,0 \mathrm{~s}, sua aceleração é (3 \hat{i}+4 \hat{j}) / 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual é o raio da trajetória da partícula, em metros, se a diferença t_{2}-t_{1} é menor que um período?
a) 36 / \pi^{2}
b) 180 / \pi^{2}
c) 9 / \pi^{2}
d) 9 / \pi
e) 18 / \pi^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes vetores textualmente do enunciado):
  • Em t_{1}=1,0\\ \mathrm{s} a aceleração é \displaystyle \mathbf{a}_1=\frac{-3\hat{i}-4\hat{j}}{5}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Em t_{2}=7,0\\ \mathrm{s} a aceleração é \displaystyle \mathbf{a}_2=\frac{3\hat{i}+4\hat{j}}{5}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • A partícula se move com velocidade escalar constante (ou seja, movimento circular uniforme).
  • A diferença de tempo é \displaystyle t_{2}-t_{1}=6,0\\ \mathrm{s}, e foi dito que isso é menor que um período.
    O que se pede: determinar o raio da trajetória da partícula, em metros.

Passo 2

Conceitos úteis (mini-aula rápida):
  • Em movimento circular uniforme, a aceleração é centrípeta, aponta para o centro da circunferência e tem magnitude
a_c=\frac{v^{2}}{r},
onde v é a velocidade escalar (constante) e r é o raio da trajetória. Aqui:
  • a_c é a magnitude da aceleração centrípeta (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • v é a velocidade escalar (em \mathrm{m/s}),
  • r é o raio (em \mathrm{m}).
  • Também é útil a relação entre velocidade angular \omega e velocidade linear:
v=\omega r,
onde \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}). Substituindo em a_c obtemos a forma
a_c=\omega^{2} r.
  • Geometricamente: o vetor aceleração centrípeta gira com a mesma velocidade angular \omega que o rádio radial (apenas defasado de \pi, já que aceleração aponta para o centro). Assim, a variação angular entre \mathbf{a}_1 e \mathbf{a}_2 durante \Delta t é igual ao deslocamento angular \Delta\theta=\omega\Delta t.

Passo 3

Calcular a magnitude de \mathbf{a}_1 (e verificar \mathbf{a}_2):
\mathbf{a}_1=\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A magnitude é
\|\mathbf{a}_1\|=\sqrt{\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{25}{25}} =1\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Da mesma forma, \mathbf{a}_2=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) tem magnitude \|\mathbf{a}_2\|=1\\ \mathrm{m/s^{2}}. Portanto o módulo da aceleração centrípeta é
a_c=1\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Determinar o ângulo entre \mathbf{a}_1 e \mathbf{a}_2 usando produto escalar:
\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2=\left(-\frac{3}{5}\right)\!\left(\frac{3}{5}\right)+\left(-\frac{4}{5}\right)\!\left(\frac{4}{5}\right) =-\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-\frac{25}{25}=-1.
Como \|\mathbf{a}_1\|=\|\mathbf{a}_2\|=1, temos
\cos\Delta\theta=\frac{\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2}{\|\mathbf{a}_1\|\|\mathbf{a}_2\|}=-1,
logo
\Delta\theta=\pi\\ \mathrm{rad}.
Ou seja, o vetor aceleração girou \pi rad entre t_{1} e t_{2}.

Passo 5

Como \Delta t=t_{2}-t_{1}=6,0\\ \mathrm{s} e a variação angular foi \Delta\theta=\pi, a velocidade angular é
\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\pi}{6}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Usar a relação centrípeta na forma \displaystyle a_c=\omega^{2}r. Temos a_c=1 e \omega=\pi/6, então
1=\left(\frac{\pi}{6}\right)^{2}r \quad\Rightarrow\quad r=\frac{1}{\left(\dfrac{\pi}{6}\right)^{2}}=\frac{36}{\pi^{2}}\\ \mathrm{m}.

Resposta

\dfrac{36}{\pi^{2}}\\ \mathrm{m}

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