Questão 2: ( 1,0 ponto)
, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido anti-horário é
. Ela se move com velocidade escalar constante. Em
, sua aceleração é
. Qual é o raio da trajetória da partícula, em metros, se a diferença
é menor que um período?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes vetores textualmente do enunciado):
- Em
a aceleração é . - Em
a aceleração é . - A partícula se move com velocidade escalar constante (ou seja, movimento circular uniforme).
- A diferença de tempo é
, e foi dito que isso é menor que um período.
O que se pede: determinar o raio da trajetória da partícula, em metros.
Passo 2
Conceitos úteis (mini-aula rápida):
- Em movimento circular uniforme, a aceleração é centrípeta, aponta para o centro da circunferência e tem magnitude
onde
é a velocidade escalar (constante) e
é o raio da trajetória. Aqui:
-
é a magnitude da aceleração centrípeta (em ), -
é a velocidade escalar (em ), -
é o raio (em ). - Também é útil a relação entre velocidade angular
e velocidade linear:
onde
é a velocidade angular (em
). Substituindo em
obtemos a forma
- Geometricamente: o vetor aceleração centrípeta gira com a mesma velocidade angular
que o rádio radial (apenas defasado de , já que aceleração aponta para o centro). Assim, a variação angular entre e durante é igual ao deslocamento angular .
Passo 3
Calcular a magnitude de
(e verificar
):
A magnitude é
Da mesma forma,
tem magnitude
. Portanto o módulo da aceleração centrípeta é
Passo 4
Determinar o ângulo entre
e
usando produto escalar:
Como
, temos
logo
Ou seja, o vetor aceleração girou
rad entre
e
.
Passo 5
Como
e a variação angular foi
, a velocidade angular é
Passo 6
Usar a relação centrípeta na forma
. Temos
e
, então