Questão 1: (0,5 Ponto) Para resolver uma equação diferencial de segunda ordem de maneira eficiente, é fundamental seguir uma sequência de passos bem definida. Numere os passos na ordem correta para resolver uma EDO de segunda ordem:
( ) Construir a solução geral usando as raízes da equação característica.
( ) Calcular as raízes da equação característica.
( ) Determinar a solução particular aplicando as condições iniciais.
( ) Determinar a equação característica.
( ) Construir a solução geral usando as raízes da equação característica.
( ) Calcular as raízes da equação característica.
( ) Determinar a solução particular aplicando as condições iniciais.
( ) Determinar a equação característica.
Passo 1
O enunciado pede para colocar em ordem os quatro passos típicos na resolução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes, desde a obtenção da equação característica até a aplicação das condições iniciais para encontrar a solução particular.
Passo 2
O primeiro passo é determinar a equação característica: ao substituir
na EDO homogênea, obtemos um polinômio em
cuja raiz indica o comportamento das soluções.
O segundo passo é calcular as raízes da equação característica: resolve-se o polinômio para encontrar os valores de , que podem ser reais distintos, reais repetidos ou complexos conjugados.
O segundo passo é calcular as raízes da equação característica: resolve-se o polinômio para encontrar os valores de
Passo 3
O terceiro passo é construir a solução geral usando as raízes obtidas: para cada raiz real
temos termos
, e para raízes complexas conjugadas usamos combinações de senos e cossenos.
Passo 4
O quarto passo é determinar a solução particular aplicando as condições iniciais: usa-se
e
(ou outras condições dadas) para fixar as constantes da solução geral e obter a solução específica do problema.
Resposta
(4) Determinar a equação característica.
(2) Calcular as raízes da equação característica.
(1) Construir a solução geral usando as raízes da equação característica.
(3) Determinar a solução particular aplicando as condições iniciais.
(2) Calcular as raízes da equação característica.
(1) Construir a solução geral usando as raízes da equação característica.
(3) Determinar a solução particular aplicando as condições iniciais.