Resolva a equação diferencial linear usando um fator de integração:
x d yd x+y=2 x, y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x dydx + y = 2x
com condição inicial y(1)=0.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para usar fator de integração, primeiro precisamos escrever no formato
dydx + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Dividindo toda a equação por x (supondo xneq0), obtemos
dydx + 1x,y = 2
Aqui P(x)=tfrac1x. O fator de integração é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1x,dx = e^ln|x| = x
(no intervalo em que x>0, podemos usar mu(x)=x).

Passo 3

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=x, a equação vira
xdydx + y = 2x,
que é exatamente
ddxl(x,yr) = 2x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(x,yr),dx = integral 2x,dx
x,y = x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, temos
y = x + Cx
Para satisfazer y(1)=0, substituímos x=1:
0 = 1 + C1Longrightarrow C = -1
Logo a solução particular é
y = x - 1x

Resposta

y = x - 1x

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