Questão (0,4 ponto)
Realize as conversões de base abaixo (mostrando as operações realizadas):
219_{10}=

Passo 1

O enunciado nos dá o número 219_{10} (ou seja, o inteiro 219 escrito na base decimal) e pede que sejam realizadas conversões de base mostrando as operações. A figura enviada contém anotações manuscritas (ver seção de imagens no final). Não há especificação explícita das bases de destino no enunciado, portanto vou apresentar conversões para algumas bases comuns que costumam aparecer em provas: base 2, base 3, base 8 (octal) e base 16 (hexadecimal).

Passo 2

Por que escolhi essas bases e qual método vou usar?
  • Bases 2,3,8,16 são frequentemente pedidas em exercícios e cobrem casos binário, ternário, octal e hexadecimal.
  • Método escolhido (o mais básico e seguro para inteiros): divisão sucessiva pelo valor da base b. Não usei métodos avançados porque a divisão sucessiva é simples, rápida à mão e suficiente em prova.
Explicação do método (sem pular etapas): para converter um inteiro N na base decimal para uma base b (com b\ge2), procede-se assim:
  • Divide-se N por b, anota-se o quociente q_1 e o resto r_0 (onde 0\le r_0\le b-1).
  • Divide-se q_1 por b, anota-se o novo quociente q_2 e o resto r_1.
  • Repete-se até obter quociente zero.
  • Os restos obtidos, lidos do último para o primeiro, formam os dígitos do número na base b.
    Observação: em bases maiores que 10 (por exemplo 16), dígitos 10,11,\dots,15 são representados por letras A,B,\dots,F.

Passo 3

Vamos aplicar a divisão sucessiva por 2. Em cada linha escrevo \text{dividendo}\div 2 = \text{quociente} resto \text{r}.
219 \div 2 = 109 \quad\text{resto } 1
109 \div 2 = 54 \quad\text{resto } 1
54 \div 2 = 27 \quad\text{resto } 0
27 \div 2 = 13 \quad\text{resto } 1
13 \div 2 = 6 \quad\text{resto } 1
6 \div 2 = 3 \quad\text{resto } 0
3 \div 2 = 1 \quad\text{resto } 1
1 \div 2 = 0 \quad\text{resto } 1
Agora leio os restos de baixo para cima (do último obtido para o primeiro): 1,1,0,1,1,0,1,1. Portanto
219_{10}=11011011_{2}.
Pequena verificação (só para confirmação): 1\cdot2^{7}+1\cdot2^{6}+0\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+1\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=128+64+0+16+8+0+2+1=219.

Passo 4

Divisões sucessivas por 3:
219 \div 3 = 73 \quad\text{resto } 0
73 \div 3 = 24 \quad\text{resto } 1
24 \div 3 = 8 \quad\text{resto } 0
8 \div 3 = 2 \quad\text{resto } 2
2 \div 3 = 0 \quad\text{resto } 2
Lendo os restos de baixo para cima: 2,2,0,1,0. Portanto
219_{10}=22010_{3}.
Verificação rápida: 2\cdot3^{4}+2\cdot3^{3}+0\cdot3^{2}+1\cdot3^{1}+0\cdot3^{0}=2\cdot81+2\cdot27+0+3+0=162+54+3=219.

Passo 5

Divisões sucessivas por 8:
219 \div 8 = 27 \quad\text{resto } 3
27 \div 8 = 3 \quad\text{resto } 3
3 \div 8 = 0 \quad\text{resto } 3
Lendo os restos de baixo para cima: 3,3,3. Portanto
219_{10}=333_{8}.
Verificação: 3\cdot8^{2}+3\cdot8^{1}+3\cdot8^{0}=3\cdot64+3\cdot8+3=192+24+3=219.

Passo 6

Divisões sucessivas por 16:
219 \div 16 = 13 \quad\text{resto } 11
13 \div 16 = 0 \quad\text{resto } 13
Restos (de baixo para cima): 13,11. Em hexadecimal os valores 10,11,12,13,14,15 são A,B,C,D,E,F. Assim 13\mapsto D e 11\mapsto B. Portanto
219_{10}=DB_{16}.
Verificação: 13\cdot16^{1}+11\cdot16^{0}=13\cdot16+11=208+11=219.

Passo 7

  • Método: divisão sucessiva pelo valor da base e leitura dos restos do último para o primeiro.
  • Dica: anotar cada divisão verticalmente ajuda a não confundir a ordem dos restos. Sempre verifique rapidamente recalculando a soma dos dígitos vezes potências da base para confirmar.

Resposta

219_{10}=11011011_{2}
219_{10}=22010_{3}
219_{10}=333_{8}
219_{10}=DB_{16}

Exercícios relacionados