Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
(2 y+3 x) d x=-x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2y+3x),dx = -,x,dy
que pode ser escrita como
x,dy + (2y+3x),dx = 0
Trata-se de uma ODE de primeira ordem e homogênea; vamos usar a substituição v=y/x.

Passo 2

Dividindo por dx e isolando tfracdydx, obtemos
dydx = -2y+3xx = -2yx - 3

Passo 3

Defina v = tfracyx. Então
dydx = v + xdvdx
Substituindo na equação original, vem
v + xdvdx = -2v - 3 Longrightarrow dvdx = -3(v+1)x

Passo 4

Separe variáveis e integre:
integral dvv+1 = integral -3,dxx Longrightarrow ln|v+1| = -3ln|x| + C
Elevando exponencial e absorvendo sinais em constante K=e^C,
v+1 = K,x^-3

Passo 5

Volte a y: como v=y/x,
yx + 1 = K,x^-3 Longrightarrow y + x = K,x^-2
Multiplicando por x^2,
x^2(y + x) = C',
com C'=K constante arbitrária.

Resposta

boxedx^2,(y + x) = C

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