Questão 1 (1 ponto) Resolva os itens abaixo:
c) Determine a convergência ou divergência da integral
c) Determine a convergência ou divergência da integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar se a integral
converge ou diverge. Isso está dentro do tópico de Cálculo Integral, especificamente tratando de integrais impróprias. Para resolver, vamos usar o Teste da Comparação e entender como funciona o comportamento da função quando $ x $ vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral é de $ x = 1 $ até $ x = \infty $, então é uma integral imprópria por limite infinito. Precisamos verificar se essa área sob a curva é finita (converge) ou infinita (diverge).
Passo 3
Vamos analisar o integrando: $ \frac{\ln(x)}{x^{2}} $. Sabemos que $ \ln(x) $ cresce lentamente enquanto $ x^{2} $ cresce rapidamente quando $ x $ tende ao infinito. Isso sugere que o denominador domina e a função pode tender a zero suficientemente rápido para a integral convergir.
Passo 4
Para confirmar isso, podemos usar uma substituição. Vamos fazer $ u = \ln(x) $, então $ du = \frac{1}{x} dx $. Mas isso pode complicar, então em vez disso, vamos tentar integrar diretamente usando uma técnica de integração por partes.
Passo 5
Aplicando a integração por partes, onde escolhemos:
- $ u = \ln(x) $ ⇒ $ du = \frac{1}{x} dx $
- $ dv = \frac{1}{x^{2}} dx $ ⇒ $ v = -\frac{1}{x} $
Usando a fórmula $ \int u , dv = uv - \int v , du $, temos:
Passo 6
Vamos avaliar o primeiro termo $ \left. -\frac{\ln(x)}{x} \right|_{1}^{\infty} $:
- Quando $ x \to \infty $, $ \ln(x) $ cresce, mas $ \frac{\ln(x)}{x} $ tende a zero, pois $ x $ cresce muito mais rápido.
- Quando $ x = 1 $, $ \ln(1) = 0 $, então o termo é zero.
Portanto, o primeiro termo resulta em 0.
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Sabemos que:
Então, avaliando de 1 até $ \infty $:
Passo 8
Somando os resultados dos dois termos:
Como obtivemos um valor finito para a integral, concluímos que ela converge.
Resposta
A integral $ I = \int_{1}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^{2}} , dx $ converge e seu valor é igual a 1.