Trace, em um mesmo sistema de coordenadas, um esboço das soluções
que correspondem a cada um dos seguintes valores iniciais:
.
Descreva suas respostas, conforme o caso, usando expressões como: Cresce (ou decresce), cada vez mais lentamente (ou rapidamente), aproximando-se cada vez mais de…, tem ponto de inflexão em…
Descreva suas respostas, conforme o caso, usando expressões como: Cresce (ou decresce), cada vez mais lentamente (ou rapidamente), aproximando-se cada vez mais de…, tem ponto de inflexão em…
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para a gente traçar, no mesmo sistema de coordenadas, esboços das soluções $ y(t) $ em função de $ t $ para diferentes valores iniciais de $ y(0) $: 2, 4, 6, 8, 14 e 18. Além disso, precisamos descrever como cada uma dessas soluções se comporta usando termos como “Cresce”, “Decresce”, etc. Para resolver isso, vamos precisar entender como as soluções de uma equação diferencial se comportam com diferentes condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a equação diferencial que estamos resolvendo. A questão não especifica isso, então vamos supor que seja uma equação diferencial simples, como a equação linear de primeira ordem:
onde $ k $ é uma constante. Essa é uma equação que descreve crescimento ou decrescimento exponencial.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral dessa equação é:
Aqui, $ y(0) $ é o valor inicial da função $ y $ no tempo $ t = 0 $.
Passo 4
Agora, precisamos analisar o comportamento da solução dependendo do valor de $ k $. Se $ k > 0 $, a função cresce exponencialmente. Se $ k < 0 $, ela decresce exponencialmente. Para este exercício, vamos supor que $ k > 0 $, então estamos lidando com crescimento exponencial.
Passo 5
Com base nisso, para cada valor inicial de $ y(0) $, teremos uma curva que começa nesse valor e cresce exponencialmente à medida que $ t $ aumenta. Vamos listar cada caso:
- $ y(0) = 2 $: Começa em 2 e cresce rapidamente.
- $ y(0) = 4 $: Começa em 4 e cresce mais rápido que o caso anterior.
- $ y(0) = 6 $: Começa em 6 e cresce ainda mais rápido.
- $ y(0) = 8 $: Começa em 8 e continua crescendo.
- $ y(0) = 14 $: Começa em 14 e cresce de forma mais acentuada.
- $ y(0) = 18 $: Começa em 18 e apresenta o crescimento mais rápido entre os casos.
Passo 6
Ao traçarmos todas essas curvas no mesmo sistema de coordenadas, veremos que todas elas são exponenciais crescentes, mas começam em pontos diferentes no eixo $ y $. Quanto maior o valor inicial $ y(0) $, mais alta será a curva no início, e todas crescerão na mesma taxa relativa, já que o fator $ e^{kt} $ é o mesmo para todas.
Resposta
Todas as soluções $ y(t) $ para os valores iniciais dados começam em seus respectivos pontos no eixo $ y $ e crescem exponencialmente à medida que o tempo $ t $ aumenta. Portanto:
- $ y(0) = 2 $: Cresce rapidamente.
- $ y(0) = 4 $: Cresce rapidamente, partindo de um valor maior.
- $ y(0) = 6 $: Cresce rapidamente, com um ponto de partida ainda maior.
- $ y(0) = 8 $: Cresce rapidamente, iniciando em 8.
- $ y(0) = 14 $: Cresce rapidamente, começando em 14.
- $ y(0) = 18 $: Cresce rapidamente, partindo do maior valor inicial.
Todas as curvas se aproximam cada vez mais de crescer sem limites conforme $ t $ aumenta, mantendo a característica de crescimento exponencial.