Questão 1 (1 ponto) Resolva os itens abaixo:
g) Determine a convergência da integral
utilizando o teorema da comparação com a função
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g) Determine a convergência da integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral que vai de 1 até o infinito da função $ \frac{1}{x^{3} + x} $ e precisa descobrir se ela converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Para isso, vamos usar o teorema da comparação, comparando essa função com $ \frac{1}{x^{3}} $. Vamos precisar saber um pouco sobre integrais impróprias e como comparar funções para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função $ \frac{1}{x^{3} + x} $ quando $ x $ fica bem grande, ou seja, tende ao infinito. Quando $ x $ é muito grande, o termo $ x^{3} $ domina sobre o $ x $, então podemos aproximar:
Isso significa que, para valores grandes de $ x $, nossa função se comporta como $ \frac{1}{x^{3}} $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do teorema da comparação. Ele diz que se temos duas funções positivas $ f(x) $ e $ g(x) $ tal que $ f(x) \leq g(x) $ para todo $ x $ no intervalo considerado, então:
- Se a integral de $ g(x) $ converge, a integral de $ f(x) $ também converge.
- Se a integral de $ f(x) $ diverge, a integral de $ g(x) $ também diverge.
No nosso caso, vamos comparar $ \frac{1}{x^{3} + x} $ com $ \frac{1}{x^{3}} $.
Passo 4
Vamos verificar a relação entre as duas funções:
Isso porque $ x^{3} + x > x^{3} $, então ao inverter, a desigualdade se mantém.
Passo 5
Sabemos que a integral de $ \frac{1}{x^{3}} $ de 1 ao infinito converge. Vamos calcular rapidamente:
Como a integral de $ \frac{1}{x^{3}} $ converge e nossa função original $ \frac{1}{x^{3} + x} $ é menor que $ \frac{1}{x^{3}} $, pelo teorema da comparação, a integral que queremos também converge.
Resposta
A integral $ \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}+x} dx $ converge.