Questão 1 (1 ponto) Resolva os itens abaixo:
a) Determine se a integral
converge ou diverge.
a) Determine se a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a integral
converge ou diverge. O conteúdo aqui é sobre integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como o integrando se comporta quando $ x $ se aproxima de 0 e quando $ x $ vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o comportamento de $ \frac{e^{-x}}{x} $ quando $ x $ está perto de 0. Sabemos que $ e^{-x} $ se aproxima de 1 quando $ x $ vai para 0, então o integrando fica aproximadamente $ \frac{1}{x} $. A integral de $ \frac{1}{x} $ de 0 a algum número positivo é conhecida por divergir, já que ela se aproxima de $ \ln(x) $, que vai para menos infinito quando $ x $ se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos verificar o comportamento quando $ x $ vai para o infinito. Quando $ x $ é muito grande, $ e^{-x} $ decai rapidamente para 0, então o integrando $ \frac{e^{-x}}{x} $ também tende a 0. Isso sugere que a parte da integral de $ x $ para o infinito pode convergir.
Passo 4
Mesmo que a parte de $ x $ grande converja, precisamos considerar que a parte próximo de 0 já está nos levando a um problema de divergência. Em integrais impróprias, se qualquer uma das partes (neste caso, próximo de 0) diverge, a integral total também diverge.
Resposta
A integral $ I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x} , dx $ diverge.