Sobre as raízes do polinômio p(x)=2 x^4-7 x^3+7 x^2-7 x+5, é CORRETO afirmar que
apenas duas delas são números complexos.

Passo 1

Temos o polinômio p(x)=2x^4-7x^3+7x^2-7x+5. O conteúdo é fatoração de polinômios e análise do número de raízes reais versus complexas segundo o Teorema Fundamental da Álgebra e o Teorema das Raízes Racionais.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos a raízes racionais são divisores de 5 sobre divisores de 2: pm1,pm5,pmtfrac12,pmtfrac52. Testando x=1 em p(x) temos 2-7+7-7+5=0. Logo, x=1 é raiz.

Passo 3

Dividindo sinteticamente p(x) por (x-1) obtemos o quociente 2x^3-5x^2+2x-5.

Passo 4

Para fatorar 2x^3-5x^2+2x-5, agrupamos em dois termos: (2x^3-5x^2)+(2x-5). Extraindo fator comum em cada grupo: x^2(2x-5)+1(2x-5)=(2x-5)(x^2+1) Assim p(x)=(x-1)(2x-5)(x^2+1), cujas raízes são x=1, x=tfrac52 e as da equação x^2+1=0, que são x=pm i.

Passo 5

Das quatro raízes, duas são reais ( 1 e tfrac52) e duas são complexas não reais ( pm i), confirmando que apenas duas delas são complexas não reais.

Resposta

Correto.

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