Resolva a equação diferencial linear usando um fator de integração:
d zd x-x z=-x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
dzdx - x,z = -x
O conteúdo aqui é resolução de equação linear usando fator integrante.

Passo 2

Escrevemos no formato dzdx + P(x)z = Q(x):
P(x) = -x, Q(x) = -x

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x):
mu(x) = expgl(integral P(x),dxgr) = expl(integral -x,dxr) = expl(-tfracx^22r)

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x), obtendo
expl(-tfracx^22r)dzdx - x,expl(-tfracx^22r)z = -x,expl(-tfracx^22r)
O lado esquerdo é exatamente
ddxl(expl(-tfracx^22r)zr)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
expl(-tfracx^22r)z = integral -x,expl(-tfracx^22r),dx + C
Fazendo u=-tfracx^22, du=-x,dx, a integral vira
integral e^u,du = e^u = expl(-tfracx^22r)
Logo
expl(-tfracx^22r)z = expl(-tfracx^22r) + C

Passo 6

Isolamos z:
z = expl(-tfracx^22r) + C expl(-tfracx^22r) = 1 + C,expl(tfracx^22r)

Resposta

z(x) = 1 + C,expl(tfracx^22r)

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