Resolva a equação diferencial linear usando um fator de integração:
z^prime-2x z=23 x^4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
z' - 2x,z = 23,x^4,
usando um fator de integração. Aqui o conteúdo é equações lineares na forma
z' + P(x),z = Q(x),
e vamos usar o método do fator integrante mu(x).

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão
z' + P(x),z = Q(x)
identificando
P(x) = -2x, Q(x) = 23,x^4

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!gl(integral P(x),dxgr) = exp!gl(integral -2x,dxgr) = exp(-2ln x) = x^-2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^-2. O lado esquerdo vira derivada do produto:
x^-2z' - 2x^-3z = ddxl(x^-2zr),
e o lado direito fica
x^-2,23,x^4 = 23,x^2
Logo obtemos
ddxl(x^-2zr) = 23,x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^-2z = integral 23,x^2,dx + C = 23,x^33 + C = 29,x^3 + C

Passo 6

Por fim, isolamos z multiplicando por x^2:
z(x) = x^2l(29,x^3 + Cr) = 29,x^5 + C,x^2,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxed,z(x) = 29,x^5 + C,x^2,

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