A velocidade média de veículos em uma via é dada por:
v(t)=1 / 8\left(t^{3}-12 t^{2}+24 t+16\right)
onde é o número de horas após 7h da manhã.
Entre 7 \mathrm{~h}(\mathrm{t}=0) e 13h ( \mathrm{t}=6 ), em que instante o trânsito está mais lento e em que instante está mais rápido?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade média
v(t)=\frac{1}{8}\bigl(t^{3}-12\,t^{2}+24\,t+16\bigr)
em que t é o número de horas após as 7 h, e pede em que instante, para 0\le t\le6, o trânsito está mais lento (mínimo de v) e mais rápido (máximo de v). O conteúdo é otimização de função usando derivada e exame de pontos críticos e extremos em intervalo fechado.

Passo 2

Calculamos a derivada de v para achar pontos críticos. Como
v(t)=\frac{t^{3}-12t^{2}+24t+16}{8},
temos
v'(t)=\frac{3t^{2}-24t+24}{8}.

Passo 3

Igualamos v'(t)=0 para obter os candidatos a extremos:
3t^{2}-24t+24=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}-8t+8=0 \quad\Longrightarrow\quad t=4\pm2\sqrt{2}.
Destes, apenas
t_{1}=4-2\sqrt{2}\approx1,17
está no intervalo [0,6]. O outro 4+2\sqrt{2}\approx6,83 está fora.

Passo 4

Avaliamos v nos extremos do intervalo e no ponto crítico:
v(0)=\frac{16}{8}=2,
v(6)=\frac{6^{3}-12\cdot6^{2}+24\cdot6+16}{8} =\frac{216-432+144+16}{8} =\frac{-56}{8}=-7,
v(4-2\sqrt{2}) =\frac{\bigl(4-2\sqrt{2}\bigr)^{3}-12\bigl(4-2\sqrt{2}\bigr)^{2} +24\bigl(4-2\sqrt{2}\bigr)+16}{8} \approx3,66.

Passo 5

Comparando os valores:
v(6)=-7 < v(0)=2 < v(4-2\sqrt{2})\approx3,66.
Logo, o valor mínimo de v ocorre em t=6 e o máximo em t=4-2\sqrt{2}.

Resposta

O trânsito está mais lento em t=6 (13 h) e mais rápido em t=4-2\sqrt{2}\approx1,17 (cerca de 8 h 10 min).

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