Um radar registrou a velocidade média:
v(t)=-0.5 t^{3}+4 t^{2}-7 t+20
Entre 8 h e 18 h , em que instante o trânsito está mais rápido?
E em que instante está mais lento?

Passo 1

O enunciado dá a função da velocidade média
v(t) = -0{,}5\,t^{3} + 4\,t^{2} - 7\,t + 20
no intervalo de tempo de t=8 (8 h) até t=18 (18 h), e pede em que instante o trânsito está mais rápido (máximo de v) e mais lento (mínimo de v). O conteúdo envolvido é cálculo de extremos de função num intervalo fechado.

Passo 2

Para achar extremos, primeiro calculamos a derivada
v'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-0{,}5\,t^{3} + 4\,t^{2} - 7\,t + 20\bigr) = -1{,}5\,t^{2} + 8\,t - 7.

Passo 3

Resolvemos v'(t)=0:
-1{,}5\,t^{2} + 8\,t - 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3\,t^{2} - 16\,t + 14 = 0.
As raízes são
t = \frac{16 \pm \sqrt{16^{2} - 4\cdot3\cdot14}}{2\cdot3} = \frac{16 \pm \sqrt{88}}{6} \approx 1{,}103\quad\text{e}\quad 4{,}230.
Como nenhuma dessas soluções pertence ao intervalo [8,18], não há extremos internos.

Passo 4

Os candidatos a extremos ficam então nas bordas t=8 e t=18. Calculamos
v(8) = -0{,}5\cdot8^{3} + 4\cdot8^{2} - 7\cdot8 + 20 = -36,
v(18) = -0{,}5\cdot18^{3} + 4\cdot18^{2} - 7\cdot18 + 20 = -1726.

Passo 5

Comparando v(8) = -36 e v(18) = -1726, o maior valor de v é -36 em t=8 e o menor é -1726 em t=18.

Resposta

O trânsito está mais rápido em t = 8 h e mais lento em t = 18 h.

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