5{ }^{2} Questāo:(1.0 ponto) Seja f(x, y)=\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right). Calcule \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sin\!\big(x^{2}+y^{2}\big) e pede a derivada parcial de terceira ordem
\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}(x,y).
Informações relevantes:
  • A função é composta: depende de u(x,y)=x^{2}+y^{2} através do seno.
  • Queremos primeiro diferenciar duas vezes em x (derivadas parciais) e depois differentiar o resultado em y. Ou seja, calcular \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\!\Big(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\Big).
  • Em derivadas parciais tratados x ou y como constantes conforme o que estivermos derivando.

Passo 2

Vamos achar a primeira derivada parcial em relação a x. Usamos a regra da cadeia: se f(x,y)=\sin(u(x,y)), então
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui u(x,y)=x^{2}+y^{2}, portanto \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2x. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\cos\big(x^{2}+y^{2}\big).
(Dica didática: ao fazer \partial/\partial x de \sin(x^2+y^2) trate y como constante; a derivada de \sin é \cos multiplicada pela derivada interna 2x.)

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada parcial em relação a x, isto é \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}. Temos uma função produto 2x\cdot\cos(u) com u=x^{2}+y^{2}. Usamos a regra do produto e novamente a regra da cadeia:
  • Regra do produto: \partial_x(AB)=A_x B + A B_x.
  • Aqui A(x)=2x e B(x,y)=\cos(u) com \partial_x B = -\sin(u)\cdot\partial_x u = -\sin(u)\cdot 2x.
Calculando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(2x\cos(u)\big) = 2\cos(u) + 2x\big(-\sin(u)\cdot 2x\big).
Simplificando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y) = 2\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)-4x^{2}\sin\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 4

Agora derivamos em y a expressão obtida em x. Ou seja, queremos
\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\left[\,2\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)-4x^{2}\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)\right].
Lembre-se: ao derivar em y tratamos x como constante. Aplicamos a regra da cadeia em cada termo.
  1. Para 2\cos(u):
\frac{\partial}{\partial y}\big(2\cos(u)\big) = 2\big(-\sin(u)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = -2\sin(u)\cdot 2y = -4y\sin\big(x^{2}+y^{2}\big).
  1. Para -4x^{2}\sin(u) (note que -4x^{2} é constante em relação a y):
\frac{\partial}{\partial y}\big(-4x^{2}\sin(u)\big) = -4x^{2}\cdot\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = -4x^{2}\cos(u)\cdot 2y = -8x^{2}y\cos\big(x^{2}+y^{2}\big).
Somando os dois resultados:
\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}(x,y) = -4y\sin\big(x^{2}+y^{2}\big) -8x^{2}y\cos\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 5

Podemos fatorar -4y para deixar a expressão mais compacta:
\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}(x,y) = -4y\left[\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)+2x^{2}\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)\right].
Isso ajuda a ver que a derivada é proporcional a y (ou seja, zero quando y=0). Boa observação para a prova!

Resposta

-4y\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)-8x^{2}y\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)

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