Questāo:(1.0 ponto) Seja
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial de terceira ordem
Informações relevantes:
- A função é composta: depende de
através do seno. - Queremos primeiro diferenciar duas vezes em
(derivadas parciais) e depois differentiar o resultado em . Ou seja, calcular . - Em derivadas parciais tratados
ou como constantes conforme o que estivermos derivando.
Passo 2
Vamos achar a primeira derivada parcial em relação a
. Usamos a regra da cadeia: se
, então
Aqui
, portanto
. Logo,
(Dica didática: ao fazer
de
trate
como constante; a derivada de
é
multiplicada pela derivada interna
.)
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada parcial em relação a
, isto é
. Temos uma função produto
com
. Usamos a regra do produto e novamente a regra da cadeia:
- Regra do produto:
. - Aqui
e com .
Calculando:
Simplificando:
Passo 4
Agora derivamos em
a expressão obtida em
. Ou seja, queremos
Lembre-se: ao derivar em
tratamos
como constante. Aplicamos a regra da cadeia em cada termo.
- Para
:
- Para
(note que é constante em relação a ):
Somando os dois resultados:
Passo 5
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais compacta:
Isso ajuda a ver que a derivada é proporcional a
(ou seja, zero quando
). Boa observação para a prova!