Questäo:(2.0 pontos) Seja
uma funçāo diferenciável com:
,
e
. Utilizando a regra da cadeia, determine:
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
diferenciável e as curvas
,
. Os dados fornecidos no instante
são:
e as derivadas parciais no ponto
são
A pergunta é: determinar
.
Passo 2
Apresento a regra da cadeia para este caso (explicando passo a passo). Se
com
e
, a variação total de
em função de
é dada por
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(ou seja, a taxa de variação de
quando só
muda e
fica fixo) e
é a derivada parcial em relação a
. Dividindo ambos os lados por
obtemos a fórmula prática:
Essa é a regra da cadeia multivariável que vamos usar.
Passo 3
Aplicando a fórmula no instante
, escrevemos explicitamente:
Ou seja, avalia-se as derivadas parciais no ponto
e multiplica-se pelas derivadas de
e
em
.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos que o enunciado deu:
logo
Passo 5
Faço as contas passo a passo:
então