6{ }^{2} Questäo:(2.0 pontos) Seja z=f(x, y) uma funçāo diferenciável com:
x=x(t), y=y(t), x(3)=2, \frac{d x}{d t}(3)=5, y(3)=7, \frac{d y}{d t}(3)=-4,
f_{x}(2,7)=6 e f_{y}(2,7)=8. Utilizando a regra da cadeia, determine: \frac{d z}{d t}(3).

Passo 1

O enunciado dá uma função z=f(x,y) diferenciável e as curvas x=x(t), y=y(t). Os dados fornecidos no instante t=3 são:
x(3)=2,\qquad \frac{dx}{dt}(3)=5,\qquad y(3)=7,\qquad \frac{dy}{dt}(3)=-4,
e as derivadas parciais no ponto (2,7) são
f_{x}(2,7)=6,\qquad f_{y}(2,7)=8.
A pergunta é: determinar \dfrac{dz}{dt}(3).

Passo 2

Apresento a regra da cadeia para este caso (explicando passo a passo). Se z=f(x,y) com x=x(t) e y=y(t), a variação total de z em função de t é dada por
dz = f_x(x,y)\,dx + f_y(x,y)\,dy.
Aqui f_x é a derivada parcial de f em relação a x (ou seja, a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo) e f_y é a derivada parcial em relação a y. Dividindo ambos os lados por dt obtemos a fórmula prática:
\frac{dz}{dt} = f_x(x(t),y(t))\cdot\frac{dx}{dt} + f_y(x(t),y(t))\cdot\frac{dy}{dt}.
Essa é a regra da cadeia multivariável que vamos usar.

Passo 3

Aplicando a fórmula no instante t=3, escrevemos explicitamente:
\frac{dz}{dt}(3) = f_x\big(x(3),y(3)\big)\cdot x'(3) + f_y\big(x(3),y(3)\big)\cdot y'(3).
Ou seja, avalia-se as derivadas parciais no ponto (x(3),y(3)) e multiplica-se pelas derivadas de x e y em t=3.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos que o enunciado deu:
f_x(2,7)=6,\quad f_y(2,7)=8,\quad x'(3)=5,\quad y'(3)=-4,
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\frac{dz}{dt}(3)=6\cdot 5 + 8\cdot(-4).

Passo 5

Faço as contas passo a passo:
6\cdot 5 = 30,
8\cdot(-4) = -32,
então
\frac{dz}{dt}(3)=30-32=-2.

Resposta

-2

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