4^{e} Questăo:(1.5 pontos) Mostre que o \lim _{(x, y) \rightarrow(3,3)} \frac{x^{2}-9+(y-3)^{2}}{x+y^{2}-12} não existe. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{(x,y)\to(3,3)} \frac{x^{2}-9+(y-3)^{2}}{x+y^{2}-12}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}-9+(y-3)^{2}}{x+y^{2}-12}.
  • Ao substituir (x,y)=(3,3) obtemos numerador 3^{2}-9+(3-3)^{2}=0 e denominador 3+3^{2}-12=0. Portanto a forma é indeterminada 0/0.
  • A tarefa é mostrar que esse limite não existe, justificando.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática curta): em limites de funções de duas variáveis, se o limite existir o mesmo valor deve ser obtido por qualquer caminho que leve a (3,3). Uma maneira eficiente de provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos diferentes que se aproximem de (3,3) e que produzam limites distintos. Vou escolher caminhos simples: uma reta horizontal y=3 e uma reta vertical x=3.

Passo 3

Caminho 1: aproximando por y=3. Substituo y=3 na expressão:
\frac{x^{2}-9+(3-3)^{2}}{x+3^{2}-12}=\frac{x^{2}-9}{x+9-12}=\frac{x^{2}-9}{x-3}.
Fatorando o numerador:
x^{2}-9=(x-3)(x+3),
logo, para x\neq 3,
\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.
Como estamos apenas nos aproximando de x=3 (não avaliando no ponto), é válido cancelar x-3. Assim
\lim_{x\to 3} \frac{x^{2}-9}{x-3}=\lim_{x\to 3} (x+3)=6.
Portanto o limite ao longo do caminho y=3 é 6.

Passo 4

Caminho 2: aproximando por x=3. Substituo x=3 na expressão:
\frac{3^{2}-9+(y-3)^{2}}{3+y^{2}-12}=\frac{(y-3)^{2}}{y^{2}-9}.
Fatorando o denominador:
y^{2}-9=(y-3)(y+3),
logo, para y\neq 3,
\frac{(y-3)^{2}}{y^{2}-9}=\frac{(y-3)^{2}}{(y-3)(y+3)}=\frac{y-3}{y+3}.
Novamente, como estamos apenas nos aproximando de y=3, é permitido cancelar y-3. Assim
\lim_{y\to 3} \frac{y-3}{y+3}=\frac{0}{6}=0.
Portanto o limite ao longo do caminho x=3 é 0.

Passo 5

Conclusão: pelos passos anteriores, o limite ao longo de y=3 é 6 e ao longo de x=3 é 0. Como esses dois valores são diferentes, o limite total
\lim_{(x,y)\to(3,3)} \frac{x^{2}-9+(y-3)^{2}}{x+y^{2}-12}
não pode existir — porque, se existisse, teria de ser o mesmo para todas as formas de aproximar (3,3). Pequeno incentivo: quando vir forma 0/0 em várias variáveis, testar retas simples como x= constante e y= constante costuma ser a primeira e mais rápida tentativa.

Resposta

O limite não existe.

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