Questăo:(1.5 pontos) Mostre que o
não existe. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - Ao substituir
obtemos numerador e denominador . Portanto a forma é indeterminada . - A tarefa é mostrar que esse limite não existe, justificando.
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática curta): em limites de funções de duas variáveis, se o limite existir o mesmo valor deve ser obtido por qualquer caminho que leve a
. Uma maneira eficiente de provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos diferentes que se aproximem de
e que produzam limites distintos. Vou escolher caminhos simples: uma reta horizontal
e uma reta vertical
.
Passo 3
Caminho 1: aproximando por
. Substituo
na expressão:
Fatorando o numerador:
logo, para
,
Como estamos apenas nos aproximando de
(não avaliando no ponto), é válido cancelar
. Assim
Portanto o limite ao longo do caminho
é
.
Passo 4
Caminho 2: aproximando por
. Substituo
na expressão:
Fatorando o denominador:
logo, para
,
Novamente, como estamos apenas nos aproximando de
, é permitido cancelar
. Assim
Portanto o limite ao longo do caminho
é
.
Passo 5
Conclusão: pelos passos anteriores, o limite ao longo de
é
e ao longo de
é
. Como esses dois valores são diferentes, o limite total
não pode existir — porque, se existisse, teria de ser o mesmo para todas as formas de aproximar
. Pequeno incentivo: quando vir forma
em várias variáveis, testar retas simples como
constante e
constante costuma ser a primeira e mais rápida tentativa.
Resposta
O limite não existe.