Questão 10 (
ponto): Seja
a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, podemos encontrar os pontos de
que são mais próximos da origem de
. O método consiste em montar um sistema de equações que, se resolvido, nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado.
Escreva aqui o sistema a ser resolvido. (não precisa resolver)
Passo 1
O enunciado pede que a gente escreva o sistema de equações que surge ao aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos da superfície
mais próximos da origem. As informações que temos são:
- A superfície
é formada pelos pontos que satisfazem
- Queremos os pontos de
que minimizam a distância até a origem (ou equivalentemente minimizam o quadrado da distância).
Passo 2
Explico por que usamos o quadrado da distância: a distância de um ponto
à origem é
. Minimizar essa raiz é equivalente a minimizar o quadrado da distância, que é a função mais simples de derivar. Assim definimos a função objetivo
que queremos minimizar sujeita à restrição dada pela função
Passo 3
Princípio básico dos multiplicadores de Lagrange (explicação curta e intuitiva): se um ponto
é um extremo de
restrito à superfície
e se a superfície é regular nesse ponto, então os gradientes obedecem
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número real). Isso gera um sistema de equações (uma equação vetorial com três componentes) mais a própria equação de restrição.
Passo 4
Calculo agora as derivadas parciais (cada passo explicado):
- Derivadas de
:
- Derivadas de
: - Para
: , , . Somando,
- Para
- Para
: , , . Somando,
- Para
: somente aparecem os termos e , cuja derivada em relação a é . Logo
Passo 5
Substituindo no princípio
componente a componente, obtemos as três equações escalares
juntamente com a restrição original
Esse é o sistema de quatro equações (três das componentes do gradiente mais a restrição) nas incógnitas
que deve ser resolvido para encontrar os candidatos a ponto mais próximo da origem.