Questão 10 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Seja S \subset \mathbb{R}^{3} a superfíce formada pelos pontos que satisfazem a equação
3 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-x z+y z=4
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, podemos encontrar os pontos de S que são mais próximos da origem de \mathbb{R}^{3}. O método consiste em montar um sistema de equações que, se resolvido, nos dá uma lista de pontos que são candidatos a serem o ponto procurado.
Escreva aqui o sistema a ser resolvido. (não precisa resolver)

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva o sistema de equações que surge ao aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos da superfície S mais próximos da origem. As informações que temos são:
  • A superfície S é formada pelos pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que satisfazem
3x^{2}+6xy+3y^{2}-xz+yz=4.
  • Queremos os pontos de S que minimizam a distância até a origem (ou equivalentemente minimizam o quadrado da distância).

Passo 2

Explico por que usamos o quadrado da distância: a distância de um ponto (x,y,z) à origem é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Minimizar essa raiz é equivalente a minimizar o quadrado da distância, que é a função mais simples de derivar. Assim definimos a função objetivo
g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
que queremos minimizar sujeita à restrição dada pela função
h(x,y,z)=3x^{2}+6xy+3y^{2}-xz+yz-4=0.

Passo 3

Princípio básico dos multiplicadores de Lagrange (explicação curta e intuitiva): se um ponto (x,y,z) é um extremo de g restrito à superfície h=0 e se a superfície é regular nesse ponto, então os gradientes obedecem
\nabla g(x,y,z)=\lambda\,\nabla h(x,y,z),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real). Isso gera um sistema de equações (uma equação vetorial com três componentes) mais a própria equação de restrição.

Passo 4

Calculo agora as derivadas parciais (cada passo explicado):
  • Derivadas de g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial g}{\partial z}=2z.
  • Derivadas de h(x,y,z)=3x^{2}+6xy+3y^{2}-xz+yz-4:
    • Para x: \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2})=6x, \frac{\partial}{\partial x}(6xy)=6y, \frac{\partial}{\partial x}(-xz)=-z. Somando,
\frac{\partial h}{\partial x}=6x+6y-z.
  • Para y: \frac{\partial}{\partial y}(6xy)=6x, \frac{\partial}{\partial y}(3y^{2})=6y, \frac{\partial}{\partial y}(yz)=z. Somando,
\frac{\partial h}{\partial y}=6x+6y+z.
  • Para z: somente aparecem os termos -xz e yz, cuja derivada em relação a z é -x+y. Logo
\frac{\partial h}{\partial z}=-x+y.

Passo 5

Substituindo no princípio \nabla g=\lambda\nabla h componente a componente, obtemos as três equações escalares
2x=\lambda(6x+6y-z),
2y=\lambda(6x+6y+z),
2z=\lambda(-x+y),
juntamente com a restrição original
3x^{2}+6xy+3y^{2}-xz+yz=4.
Esse é o sistema de quatro equações (três das componentes do gradiente mais a restrição) nas incógnitas x,y,z,\lambda que deve ser resolvido para encontrar os candidatos a ponto mais próximo da origem.

Resposta

2x=\lambda(6x+6y-z)
2y=\lambda(6x+6y+z)
2z=\lambda(-x+y)
3x^{2}+6xy+3y^{2}-xz+yz=4

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