Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação no Limite.
34+59+716+925+cdots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
34 + 59 + 716 + 925 + cdots
usando o Teste da Comparação no Limite. Este teste afirma que, dados dois termos positivos (an) e (bn), se
L = limntoinftyanbn
existe e 0 < L < infty, então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 2

Identificamos o termo geral da série original como
an = 2n+1(n+1)^2, n>=1
Para compará-la, escolhemos a série harmônica sum bn com
bn = 1n,
cuja divergência já é conhecida.

Passo 3

Calculamos o limite das razões:
L = limntoinftyanbn = limntoinfty2n+1(n+1)^21n = limntoinftyn(2n+1)(n+1)^2 = limntoinfty2n^2 + nn^2 + 2n +1 = 2
Como 0< L=2<infty, o Teste da Comparação no Limite garante que sum an diverge junto com a harmônica.

Resposta

A série diverge.

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