Questão 1. (Valor 2,0) Determine k para que:
O vetor v=(1, k,-k) seja combinação linear dos vetores u1=(2,1,1) e u2=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede determinar o valor de k para que o vetor
v = (1,,k,,-k)
seja combinação linear dos vetores
u1 = (2,,1,,1) e u2 = (0,,1,,1)
Isso significa encontrar escalares a e b tais que
v = a,u1 + b,u2

Passo 2

Escrevendo componente a componente, temos o sistema
1 = 2a + 0b, k = 1a + 1b, -k = 1a + 1b

Passo 3

Da primeira equação segue
1 = 2a Longrightarrow a = tfrac12

Passo 4

Substituindo a=tfrac12 nas segunda e terceira equações:
k = tfrac12 + b Longrightarrow b = k - tfrac12,
-k = tfrac12 + b Longrightarrow b = -,k - tfrac12

Passo 5

Igualando as duas expressões para b:
k - tfrac12 = -,k - tfrac12 Longrightarrow 2k = 0 Longrightarrow k = 0

Passo 6

Para confirmar, com k=0 temos a=tfrac12 e b=-tfrac12. Então
a,u1 + b,u2 = tfrac12(2,1,1) + l(-tfrac12r)(0,1,1) = (1,0,0) = (1,,k,,-k)
quando k=0, o que confirma a solução.

Resposta

k = 0

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