É realizado um experimento em um sistema massa-mola de tal forma que o corpo é solto em um das extremidades de uma tábua de 3 cm . O corpo realiza um MHS exatamente sobre as extremidades da tábua.
Após 10s de oscilação, foi contado que o corpo passou 16 vezes por toda a tábua.
(a) Encontre a função horária dessa oscilação. (b) qual é a velocidade e aceleração máxima desse movimento?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Comprimento da tábua: 3\\ \mathrm{cm}.
  • O corpo realiza MHS cujas extremidades coincidem exatamente com as extremidades da tábua.
  • O corpo é “solto” em uma das extremidades da tábua (isto é, é liberado a partir do extremo).
  • Em 10\\ \mathrm{s} foram contadas 16 passagens “por toda a tábua” (isto será interpretado abaixo).
O enunciado pede:
(a) Encontrar a função horária da oscilação (ou seja, x(t) com as condições iniciais dadas).
(b) Determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima desse movimento.

Passo 2

Interpretação do enunciado e relação com o período.
Explicação didática: em MHS uma oscilação completa (período) leva o corpo de um extremo até o outro e de volta ao mesmo extremo. O deslocamento entre extremos (ir de um extremo ao outro) corresponde a meia oscilação (metade do período).
O enunciado diz que em 10\\ \mathrm{s} o corpo passou 16 vezes “por toda a tábua” — ou seja, percorreu a distância de um extremo até o outro 16 vezes. Cada uma dessas travessias corresponde a meia oscilação, logo o número de oscilações completas (períodos) em 10\\ \mathrm{s} é
\text{nº de períodos}=\frac{16}{2}=8.ºí
Portanto o período T vale
T=\frac{10\\ \mathrm{s}}{8}=1,25\\ \mathrm{s}.
A frequência (número de períodos por segundo) é
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{1,25}=0,8\\ \mathrm{Hz}.
A pulsação (frequência angular) é
\omega=2\pi f=2\pi\cdot0,8=1{,}6\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx5{,}0265482457\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar a amplitude A.
Explicação didática: a amplitude A em MHS é a distância do ponto de equilíbrio até um dos extremos. Se os extremos coincidem com as bordas da tábua de comprimento 3\\ \mathrm{cm}, então o deslocamento total entre extremos é 3\\ \mathrm{cm} e a amplitude é metade disso:
A=\frac{3\\ \mathrm{cm}}{2}=1{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Escolher a forma da função horária e aplicar as condições iniciais.
Teoria rápida e intuitiva: a solução geral do MHS simples (movimento harmônico simples) para o deslocamento é uma combinação de cosseno e seno:
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • x(t) é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio (em metros),
  • A é a amplitude (em metros),
  • \omega é a pulsação (em \mathrm{rad/s}),
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
Condições iniciais do problema: o corpo é solto a partir de uma das extremidades — isso significa que em t=0 o corpo está em x(0)=+A (escolhendo o extremo liberado como positivo) e a velocidade inicial é v(0)=0 (solto, sem empurrão). Essas condições correspondem exatamente à escolha \varphi=0 para a forma com cosseno, porque \cos(0)=1 e a derivada no tempo de A\cos(\omega t) em t=0 é zero.
Logo a função horária é
x(t)=A\cos(\omega t).
Substituindo A e \omega encontrados:
x(t)=0{,}015\cos\bigl(1{,}6\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Velocidade e aceleração — fórmulas e máximos.
Teoria simples: velocidade e aceleração são derivadas do deslocamento em função do tempo.
  • Velocidade: v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
  • Aceleração: a(t)=\dfrac{d^2x}{dt^2}.
Derivando x(t)=A\cos(\omega t):
v(t)=-A\omega\sin(\omega t),
a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t).
Máximos: a velocidade atinge o valor máximo em módulo quando |\sin(\omega t)|=1, portanto
v_{\max}=A\omega.
A aceleração atinge o máximo em módulo quando |\cos(\omega t)|=1, portanto
a_{\max}=A\omega^2.
Agora substituímos os valores numéricos:
v_{\max}=0{,}015\cdot(1{,}6\pi)\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}015\cdot5{,}0265482457\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}075398\\ \mathrm{m/s}.
a_{\max}=0{,}015\cdot(1{,}6\pi)^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx0{,}015\cdot(5{,}0265482457)^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx0{,}378982\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando com coerência (três algarismos significativos):
v_{\max}\approx0{,}0754\\ \mathrm{m/s}, \qquad a_{\max}\approx0{,}379\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a) x(t)=0{,}015\cos\bigl(1{,}6\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{m}
(b) v_{\max}=0{,}0754\\ \mathrm{m/s},\quad a_{\max}=0{,}379\\ \mathrm{m/s^2}

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