É realizado um experimento em um sistema massa-mola de tal forma que o corpo é solto em um das extremidades de uma tábua de 3 cm . O corpo realiza um MHS exatamente sobre as extremidades da tábua.
Após 10s de oscilação, foi contado que o corpo passou 16 vezes por toda a tábua.
(a) Encontre a função horária dessa oscilação. (b) qual é a velocidade e aceleração máxima desse movimento?
(a) Encontre a função horária dessa oscilação. (b) qual é a velocidade e aceleração máxima desse movimento?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Comprimento da tábua:
. - O corpo realiza MHS cujas extremidades coincidem exatamente com as extremidades da tábua.
- O corpo é “solto” em uma das extremidades da tábua (isto é, é liberado a partir do extremo).
- Em
foram contadas passagens “por toda a tábua” (isto será interpretado abaixo).
O enunciado pede:
(a) Encontrar a função horária da oscilação (ou seja, com as condições iniciais dadas).
(b) Determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima desse movimento.
(a) Encontrar a função horária da oscilação (ou seja,
(b) Determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima desse movimento.
Passo 2
Interpretação do enunciado e relação com o período.
Explicação didática: em MHS uma oscilação completa (período) leva o corpo de um extremo até o outro e de volta ao mesmo extremo. O deslocamento entre extremos (ir de um extremo ao outro) corresponde a meia oscilação (metade do período).
O enunciado diz que em
o corpo passou
vezes “por toda a tábua” — ou seja, percorreu a distância de um extremo até o outro
vezes. Cada uma dessas travessias corresponde a meia oscilação, logo o número de oscilações completas (períodos) em
é
Portanto o período
vale
A frequência (número de períodos por segundo) é
A pulsação (frequência angular) é
Passo 3
Determinar a amplitude
.
Explicação didática: a amplitude
em MHS é a distância do ponto de equilíbrio até um dos extremos. Se os extremos coincidem com as bordas da tábua de comprimento
, então o deslocamento total entre extremos é
e a amplitude é metade disso:
Passo 4
Escolher a forma da função horária e aplicar as condições iniciais.
Teoria rápida e intuitiva: a solução geral do MHS simples (movimento harmônico simples) para o deslocamento é uma combinação de cosseno e seno:
onde:
-
é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio (em metros), -
é a amplitude (em metros), -
é a pulsação (em ), -
é a fase inicial (em radianos).
Condições iniciais do problema: o corpo é solto a partir de uma das extremidades — isso significa que em
o corpo está em
(escolhendo o extremo liberado como positivo) e a velocidade inicial é
(solto, sem empurrão). Essas condições correspondem exatamente à escolha
para a forma com cosseno, porque
e a derivada no tempo de
em
é zero.
Logo a função horária é
Substituindo
e
encontrados:
Passo 5
Velocidade e aceleração — fórmulas e máximos.
Teoria simples: velocidade e aceleração são derivadas do deslocamento em função do tempo.
- Velocidade:
. - Aceleração:
.
Derivando
:
Máximos: a velocidade atinge o valor máximo em módulo quando
, portanto
A aceleração atinge o máximo em módulo quando
, portanto
Agora substituímos os valores numéricos:
Arredondando com coerência (três algarismos significativos):
Resposta
(a)
(b)
(b)