Some as séries:
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\cdots

Passo 1

O enunciado pede para somar a série infinita
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots
Informações dadas:
  • A sequência de termos começa em 1 e segue com sinais alternados.
  • Os termos em valor absoluto obedecem a potências de \tfrac{1}{3}: 1,\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9},\tfrac{1}{27},\ldots.
  • A pergunta é: qual é o valor da soma infinita dessa série (se ela convergir)?

Passo 2

Identificar a forma geral da série: observe que cada termo é obtido multiplicando o anterior por um mesmo número r (a razão). Isso caracteriza uma série geométrica. Para séries geométricas usamos a notação:
\text{termo inicial } = a,\qquad \text{razão } = r.ã
A série geométrica infinita tem a forma
a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots.
Há uma fórmula padrão para a soma parcial finita S_N (soma dos N+1 primeiros termos, começando em potência 0):
S_N = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{N} = a\frac{1-r^{N+1}}{1-r},
válida quando r\neq 1. Essa fórmula é obtida multiplicando S_N por r e subtraindo, um procedimento muito útil — vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Derivação da fórmula da soma parcial (passo a passo, bem mastigado):
  • Defina
S_N = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{N}.
  • Multiplique ambos os lados por r:
rS_N = ar + ar^2 + \cdots + ar^{N} + ar^{N+1}.
  • Subtraia as duas igualdades ( S_N - rS_N):
S_N - rS_N = a - ar^{N+1}.
  • Fatore S_N(1-r) do lado esquerdo:
S_N(1-r) = a(1-r^{N+1}).
  • Isolando S_N obtemos a fórmula anunciada:
S_N = a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.

Passo 4

Condição de convergência: para passar da soma parcial S_N à soma infinita S precisamos que o termo r^{N+1} tenda a zero quando N\to\infty. Isso acontece exatamente quando |r|<1. Nesse caso:
S = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} a\frac{1-r^{N+1}}{1-r} = \frac{a}{1-r}.
Portanto, sempre que |r|<1, a soma da série geométrica infinita é \dfrac{a}{1-r}.

Passo 5

Aplicar ao caso dado: identificar a e r.
  • O primeiro termo (quando a potência é zero) é a=1.
  • A razão entre termos consecutivos é
r = \frac{-\tfrac{1}{3}}{1} = -\tfrac{1}{3}.
Verificação rápida: \dfrac{\tfrac{1}{9}}{-\tfrac{1}{3}}=-\tfrac{1}{3}, então está consistente.

Passo 6

Verificar a condição de convergência:
|r| = \left| -\tfrac{1}{3} \right| = \tfrac{1}{3} < 1,
logo a série converge e podemos usar a fórmula \dfrac{a}{1-r}.

Passo 7

Calcular a soma usando a fórmula:
S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - \left(-\tfrac{1}{3}\right)} = \frac{1}{1 + \tfrac{1}{3}}.
Fazendo a conta:
1 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3}, \qquad \frac{1}{\tfrac{4}{3}} = \tfrac{3}{4}.

Resposta

\tfrac{3}{4}

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