QUESTÃO 2 (2,5 PONTOS) - A adição de aletas de alumínio foi sugerida para aumentar a taxa de dissipação de calor de um lado de um dispositivo eletrônico de 1 m de largura e 1 m de altura. As aletas devem ser de seção transversal retangular, ter
de comprimento e
de espessura. Devem existir 100 aletas por metro. O coeficiente de transferência de calor por convecção na parede e nas aletas está estimado em
na configuração sem aletas. Com essa informação, determine o aumento percentual na taxa de transferência de calor da parede com aletas em comparação com a parede sem elas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dimensões da parede onde se acrescentam as aletas: largura
e altura . Logo a área da parede é . - Aletas: seção retangular, comprimento (projeção a partir da parede)
e espessura . - Densidade de aletas:
aletas por metro (para a largura de isso dá aletas). - Coeficiente convectivo na configuração com aletas:
(vale para aletas e a parede exposta). - Coeficiente convectivo na configuração sem aletas:
. - Material das aletas: alumínio. Como o enunciado não dá a condutividade térmica, usa-se o valor típico do alumínio:
. - O que se pede: aumento percentual na taxa de transferência de calor da parede com aletas em comparação com a parede sem aletas.
Observação útil: a diferença de temperatura entre parede e fluido ambiente
não é fornecida, mas o aumento percentual não depende de
(ela cancela). Vou trabalhar com
simbólico até o final.
Passo 2
Calcular a taxa de calor no caso sem aletas (referência).
A área da parede é
. A taxa de transferência de calor por convecção é
Substituindo os valores:
Isto será a referência para comparar.
Passo 3
Estrutura geométrica e áreas relevantes no caso com aletas.
- Número de aletas:
. - Área ocupada pelas bases das aletas na parede (cada base tem área
, com sendo a altura da parede igual a ):
- Área da parede que permanece exposta ao fluido entre as aletas:
- Área de superfície convectiva de uma aleta (duas faces laterais + ponta): a face lateral de cada lado tem área
. Tomando também a pequena área da ponta , temos por aleta
- Área total de superfície das aletas:
Explicação rápida: a base da aleta (a pequena faixa de parede onde a aleta é agarrada) não participa da convecção porque está “ocupada” pela aleta; por isso subtraímos essa área da parede exposta.
Passo 4
Teoria das aletas: como calcular o calor extra fornecido por cada aleta.
- Ideia: cada aleta, de material condutor, conduz calor do pé (temperatura da parede
) para a superfície externa e cede calor por convecção. A eficiência da aleta mede a razão entre o calor real cedido pela aleta e o calor que ela cederia se toda sua superfície estivesse à temperatura da base . - Fórmula prática (padrão para aleta retangular fina, aproximação de ponta isolada/pequena): a largura térmica da aleta é caracterizada por
onde
-
é coeficiente convectivo na aleta ( ), -
é o perímetro da seção transversal da aleta, aqui (duas faces grandes, desprezando a espessura na soma), -
é a área da seção transversal da aleta, , -
é a condutividade térmica do alumínio. - Simplificando para nossa geometria (cancelando
):
- A eficiência da aleta (aproximação padrão que funciona bem quando a ponta é pequena) é
- O calor cedido por uma aleta é aproximadamente
- O calor cedido pela parede exposta entre as aletas é
- Então a taxa total com aletas é
Passo 5
Calcular
e a eficiência
numericamente.
Usando
,
,
,
:
Calcule passo a passo:
Agora
:
E a eficiência:
Comentário: a eficiência fica muito alta (
) porque as aletas são curtas e de bom condutor.
Passo 6
Calcular as contribuições de calor com números completos.
- Calor da parede exposta entre aletas:
- Calor total cedido pelas aletas:
Substituindo
,
,
,
:
Calcule em passos:
. Então
portanto
- Assim a taxa total com aletas é
Passo 7
Calcular o aumento percentual em relação ao caso sem aletas.
Aument percentual definido como
Substituindo
e
:
Arredondando razoavelmente, obtemos um aumento de aproximadamente
.
Interpretação curta e encorajadora: isso significa que, apesar do coeficiente convectivo local ter sido levemente menor com aletas (
vs
), o grande ganho vem do aumento enorme da área efetiva de troca (as aletas adicionaram
de superfície chamando para a convecção), então a potência dissipada aumentou mais de quatro vezes em relação à parede lisa. Legal: aletas curtas e finas de alumínio, bem próximas, dão grande ganho quando a eficiência é alta.