QUESTÃO 2 (2,5 PONTOS) - A adição de aletas de alumínio foi sugerida para aumentar a taxa de dissipação de calor de um lado de um dispositivo eletrônico de 1 m de largura e 1 m de altura. As aletas devem ser de seção transversal retangular, ter 2,5 \mathrm{~cm} de comprimento e 0,25 \mathrm{~cm} de espessura. Devem existir 100 aletas por metro. O coeficiente de transferência de calor por convecção na parede e nas aletas está estimado em 35 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, \mathrm{e} 40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} na configuração sem aletas. Com essa informação, determine o aumento percentual na taxa de transferência de calor da parede com aletas em comparação com a parede sem elas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dimensões da parede onde se acrescentam as aletas: largura 1\\ \text{m} e altura 1\\ \text{m}. Logo a área da parede é 1\\ \text{m}^2.
  • Aletas: seção retangular, comprimento (projeção a partir da parede) L=2{,}5\\ \text{cm}=0{,}025\\ \text{m} e espessura t=0{,}25\\ \text{cm}=0{,}0025\\ \text{m}.
  • Densidade de aletas: 100 aletas por metro (para a largura de 1\\ \text{m} isso dá N=100 aletas).
  • Coeficiente convectivo na configuração com aletas: h_{\text{com}}=35\\ \mathrm{W/m^{2}K} (vale para aletas e a parede exposta).
  • Coeficiente convectivo na configuração sem aletas: h_{\text{sem}}=40\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Material das aletas: alumínio. Como o enunciado não dá a condutividade térmica, usa-se o valor típico do alumínio: k=205\\ \mathrm{W/m\cdot K}.
  • O que se pede: aumento percentual na taxa de transferência de calor da parede com aletas em comparação com a parede sem aletas.
Observação útil: a diferença de temperatura entre parede e fluido ambiente \Delta T não é fornecida, mas o aumento percentual não depende de \Delta T (ela cancela). Vou trabalhar com \Delta T simbólico até o final.

Passo 2

Calcular a taxa de calor no caso sem aletas (referência).
A área da parede é A_{\text{parede}}=1\\ \text{m}^2. A taxa de transferência de calor por convecção é
Q_{\text{sem}} = h_{\text{sem}}\,A_{\text{parede}}\,\Delta T.
Substituindo os valores:
Q_{\text{sem}} = 40\cdot 1\cdot \Delta T = 40\,\Delta T.
Isto será a referência para comparar.

Passo 3

Estrutura geométrica e áreas relevantes no caso com aletas.
  • Número de aletas: N=100.
  • Área ocupada pelas bases das aletas na parede (cada base tem área t\cdot H, com H sendo a altura da parede igual a 1\\ \text{m}):
A_{\text{base total}} = N\cdot t\cdot H = 100\cdot 0{,}0025\cdot 1 = 0{,}25\\ \text{m}^2.
  • Área da parede que permanece exposta ao fluido entre as aletas:
A_{\text{parede\_exp}} = A_{\text{parede}} - A_{\text{base total}} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\\ \text{m}^2.
  • Área de superfície convectiva de uma aleta (duas faces laterais + ponta): a face lateral de cada lado tem área H\cdot L. Tomando também a pequena área da ponta H\cdot t, temos por aleta
A_{\text{aleta}} \approx 2\cdot(HL) + Ht = 2\cdot(1\cdot 0{,}025) + 1\cdot 0{,}0025 = 0{,}05 + 0{,}0025 = 0{,}0525\\ \text{m}^2.
  • Área total de superfície das aletas:
A_{\text{aletas\_total}} = N\cdot A_{\text{aleta}} = 100\cdot 0{,}0525 = 5{,}25\\ \text{m}^2.
Explicação rápida: a base da aleta (a pequena faixa de parede onde a aleta é agarrada) não participa da convecção porque está “ocupada” pela aleta; por isso subtraímos essa área da parede exposta.

Passo 4

Teoria das aletas: como calcular o calor extra fornecido por cada aleta.
  • Ideia: cada aleta, de material condutor, conduz calor do pé (temperatura da parede T_b) para a superfície externa e cede calor por convecção. A eficiência da aleta \eta_f mede a razão entre o calor real cedido pela aleta e o calor que ela cederia se toda sua superfície estivesse à temperatura da base T_b.
  • Fórmula prática (padrão para aleta retangular fina, aproximação de ponta isolada/pequena): a largura térmica da aleta é caracterizada por
m = \sqrt{\dfrac{h\,P}{k\,A_c}},
onde
  • h é coeficiente convectivo na aleta ( \mathrm{W/m^2K}),
  • P é o perímetro da seção transversal da aleta, aqui P\approx 2H (duas faces grandes, desprezando a espessura na soma),
  • A_c é a área da seção transversal da aleta, A_c = t\cdot H,
  • k é a condutividade térmica do alumínio.
  • Simplificando para nossa geometria (cancelando H):
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.
  • A eficiência da aleta (aproximação padrão que funciona bem quando a ponta é pequena) é
\eta_f \approx \dfrac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
  • O calor cedido por uma aleta é aproximadamente
Q_{\text{aleta}} = \eta_f\,h\,A_{\text{aleta}}\,\Delta T.
  • O calor cedido pela parede exposta entre as aletas é
Q_{\text{parede\_exp}} = h\,A_{\text{parede\_exp}}\,\Delta T.
  • Então a taxa total com aletas é
Q_{\text{com}} = Q_{\text{parede\_exp}} + N\cdot Q_{\text{aleta}}.

Passo 5

Calcular m e a eficiência \eta_f numericamente.
Usando h=35\\ \mathrm{W/m^2K}, k=205\\ \mathrm{W/mK}, t=0{,}0025\\ \text{m}, L=0{,}025\\ \text{m}:
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 35}{205\cdot 0{,}0025}}.
Calcule passo a passo:
k\,t = 205\cdot 0{,}0025 = 0{,}5125,
\dfrac{2h}{k\,t}=\dfrac{70}{0{,}5125}\approx 136{,}5854,
m\approx \sqrt{136{,}5854}\approx 11{,}686\\ \text{m}^{-1}.
Agora mL:
mL = 11{,}686\cdot 0{,}025 \approx 0{,}29215.
E a eficiência:
\eta_f \approx \dfrac{\operatorname{tanh}(0{,}29215)}{0{,}29215}\approx \dfrac{0{,}2846}{0{,}29215}\approx 0{,}974.
Comentário: a eficiência fica muito alta ( \approx 97{,}4\%) porque as aletas são curtas e de bom condutor.

Passo 6

Calcular as contribuições de calor com números completos.
  • Calor da parede exposta entre aletas:
Q_{\text{parede\_exp}} = h_{\text{com}}\,A_{\text{parede\_exp}}\,\Delta T = 35\cdot 0{,}75\cdot \Delta T = 26{,}25\,\Delta T.
  • Calor total cedido pelas aletas:
Q_{\text{aletas}} = N\cdot \eta_f\,h_{\text{com}}\,A_{\text{aleta}}\,\Delta T.
Substituindo N=100, \eta_f\approx 0{,}974, h_{\text{com}}=35, A_{\text{aleta}}=0{,}0525:
Q_{\text{aletas}} \approx 100\cdot 0{,}974\cdot 35\cdot 0{,}0525\cdot \Delta T.
Calcule em passos: 35\cdot 0{,}0525 = 1{,}8375. Então
100\cdot 0{,}974\cdot 1{,}8375 \approx 179{,}0,
portanto
Q_{\text{aletas}} \approx 179{,}0\,\Delta T.
  • Assim a taxa total com aletas é
Q_{\text{com}} = Q_{\text{parede\_exp}} + Q_{\text{aletas}} \approx 26{,}25\,\Delta T + 179{,}0\,\Delta T = 205{,}25\,\Delta T.

Passo 7

Calcular o aumento percentual em relação ao caso sem aletas.
Aument percentual definido como
\%\\ \text{aumento} = \dfrac{Q_{\text{com}}-Q_{\text{sem}}}{Q_{\text{sem}}}\times 100\%.
Substituindo Q_{\text{com}}\approx 205{,}25\,\Delta T e Q_{\text{sem}}=40\,\Delta T:
\%\\ \text{aumento} \approx \dfrac{205{,}25-40}{40}\times 100\% = \dfrac{165{,}25}{40}\times 100\% \approx 413{,}125\%.
Arredondando razoavelmente, obtemos um aumento de aproximadamente 413{,}1\%.
Interpretação curta e encorajadora: isso significa que, apesar do coeficiente convectivo local ter sido levemente menor com aletas ( 35 vs 40), o grande ganho vem do aumento enorme da área efetiva de troca (as aletas adicionaram \approx 5{,}25\\ \text{m}^2 de superfície chamando para a convecção), então a potência dissipada aumentou mais de quatro vezes em relação à parede lisa. Legal: aletas curtas e finas de alumínio, bem próximas, dão grande ganho quando a eficiência é alta.

Resposta

413{,}1\%

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