QUESTÃO 4 ( 2,5 PONTOS) - Um forno é moldado como um longo duto triangular equilátero onde a largura de cada lado é de 2 m . O calor é fornecido a partir da superfície da base, cuja emissividade é 0,8 , a uma taxa de
, enquanto as superfícies laterais, cujas emissividades são de 0,5 , são mantidas a 500 K . Faça um circuito térmico que represente este problema. Determine a temperatura da superfície da base.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumindo e com clareza):
- Geometria: duto retilíneo com seção transversal triangular equilátera; cada lado tem comprimento
. O duto é “longo”, então podemos trabalhar por unidade de comprimento (1 m) no eixo longitudinal. - Superfícies:
- Base (chamarei de superfície 1): emissividade
. Recebe calor fornecido à taxa (essa taxa é por área da base). - Laterais (superfícies 2 e 3): cada uma com emissividade
, mantidas à temperatura .
- Base (chamarei de superfície 1): emissividade
- Objetivo pedido: montar um circuito térmico radiativo equivalente e determinar a temperatura da superfície da base
em regime estacionário (onde o calor fornecido pela base é perdido por radiação para as laterais).
Observações importantes que vamos usar:
- Trabalho por unidade de comprimento (1 m): cada face tem área
. - Vamos considerar apenas troca radiativa entre as três superfícies internas (não há outras trocas de calor relevantes listadas).
- Constante de Stefan–Boltzmann:
.
Passo 2
Modelo físico e escolha do método (por que usar o método dos radiosities / circuito radiativo)
- Como as superfícies são difusas e gray e trocam radiação entre si dentro da mesma cavidade triangular, o método das radiosidades (ou circuito radiativo com fatores de vista) é apropriado.
- Para cavidade com poucas superfícies podemos escrever as equações de radiosidade:
onde é a radiosidade (W/m^2) da superfície e é a irradiação recebida por , dada por com fatores de vista (view factors). - A potência líquida por unidade de área emitida pela superfície
é Em regime estacionário, para a base (superfície 1) teremos .
Passo 3
Determinação dos fatores de vista
usando simetria
- A seção é um triângulo equilátero e as áreas das três superfícies (por unidade de comprimento) são iguais:
. - Cada face “vê” apenas as outras duas (para superfícies planas formando a cavidade triangular,
). - Pelo requisito
e pela simetria da base ver as duas laterais igualmente, temos - Pela reciprocidade
e com segue que e . Assim, para quaisquer temos .
Passo 4
Equações de radiosidade e simplificação por simetria
- Escrevendo para as três superfícies (e lembrando
): - Como superfícies 2 e 3 são idênticas (
e ), pela simetria . Denote . - Usando
e , as equações ficam: ]
Passo 5
Resolver algebricamente as equações para eliminar as radiosidades e obter
em função de
e
- Da segunda equação:
Logo Para abreviar, defina e . Então - Substitua na equação de
: Rearranjando: - Para os valores dados
e temos numericamente Calculando explicitamente a constante fatorante resulta em (após simplificação algébrica) as belas relações - A taxa líquida por unidade de área emitida pela base é
Substituindo as expressões acima:
Passo 6
Equilíbrio de energia e solução numérica para
- Em regime estacionário, todo calor fornecido à base sai por radiação para as laterais; portanto
Isolando : - Substituir os valores:
, , . Calculando numericamente:
Tomando a raiz quarta:
Passo 7
Interpretação rápida e circuito térmico equivalente
- O circuito radiativo equivalente (por unidade de área) pode ser pensado como:
- Uma “fonte”
na superfície 1 ligada a uma resistência superficial (por unidade adequada) em série com a resistência de espaço entre superfícies, que leva às duas superfícies laterais; as laterais têm suas próprias resistências superficiais . Pela simetria a expressão final simplificou para o fator multiplicando .
- Uma “fonte”
- Resultado prático: a base fica mais quente que as laterais; o valor calculado é compatível com o balanço radiativo dado.