Questão 3 (3 pontos) - Um aviăo de transporte pode operar 12 h por dia, 6 dias por semana. Sua velocidade de cruzeiro é de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O consumo de combustível é de 0,05 \mathrm{~kg} / hora para cada Newton de força de empuxo produzida. Considere a massa total de 2500 Kg , atmosfera padrão, as asas tem 30 m 2 de área planiforme efetiva, razão de aspecto 10 , projetadas com o perfil NACA 23015 , supondo que o número de Reynolds do problema seja próximo aos dados publicados na figura do livro texto, determine
(a) o ângulo de ataque,

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (tudo que vou usar neste item (a)).
  • Dados numéricos:
    • massa total: m=2500\\ \mathrm{kg}.
    • velocidade de cruzeiro: V=100\\ \mathrm{m/s}.
    • área da asa: S=30\\ \mathrm{m^2}.
    • razão de aspecto: \mathrm{AR}=10.
    • atmosfera padrão (vou usar densidade do ar ao nível do mar): \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • perfil: NACA 23015 (o enunciado menciona uma curva experimental no livro, mas essa figura não foi enviada aqui).
  • O que se pede em (a): determinar o ângulo de ataque \alpha de cruzeiro.
  • Observação importante: para relacionar coeficiente de sustentação C_L com ângulo de ataque é preciso saber a inclinação da curva C_L(\alpha) e o ângulo de ataque de sustentação nula \alpha_{L0} do aerofólio. A figura do livro mencionada conteria esses dados. Como a figura não foi fornecida, vou usar procedimentos teóricos padrão (lift-line + valor típico para aerofólio camberado) e explicitar a suposição que faço sobre \alpha_{L0}. Mais abaixo apresento o efeito de variar essa suposição (sensibilidade).

Passo 2

Equilíbrio de voo nivelado (fundamento físico) — relacionando sustentação com peso.
Em voo de cruzeiro nivelado, a sustentação L deve igualar o peso W:
L = W = m g.
A sustentação também é dada por
L = \tfrac{1}{2}\rho V^2 S C_L,
onde:
  • \rho é a densidade do ar ( \mathrm{kg/m^3}),
  • V é a velocidade relativa do ar ( \mathrm{m/s}),
  • S é a área da asa ( \mathrm{m^2}),
  • C_L é o coeficiente de sustentação adimensional.
Primeiro calculo o peso:
W = m g = 2500\cdot 9{,}81 = 24525\\ \mathrm{N}.
Calculando a pressão dinâmica:
q = \tfrac{1}{2}\rho V^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}225\cdot 100^2 = 6125\\ \mathrm{N/m^2}.
Agora encontro C_L exigido para equilibrar o peso:
C_L = \frac{W}{q S} = \frac{24525}{6125\cdot 30}.
Faço a conta:
6125\cdot 30 = 183750,
C_L = \frac{24525}{183750}\approx 0{,}1335.
Portanto o avião precisa de \displaystyle C_L\approx 0{,}1335 no regime de cruzeiro.

Passo 3

Relação entre C_L e ângulo de ataque \alpha (teoria de pequenas inclinações e efeito 3D da asa).
Para ângulos pequenos costuma-se usar, em unidades do SI, a aproximação linear
C_L = a\;(\alpha - \alpha_{L0}),
onde:
  • a é a inclinação da curva C_L por radiano (lift-curve slope) da asa finita,
  • \alpha é o ângulo de ataque geométrico (em radianos),
  • \alpha_{L0} é o ângulo de ataque que produz C_L=0 (zero-lift angle), também em rad.
Explicação da origem de a: para um aerofólio 2D (infinito em extensão) a teoria do aerofólio fino dá a_0 \approx 2\pi\\ \mathrm{rad^{-1}}. Para uma asa finita a inclinação efetiva é reduzida pela ação das vórtices de ponta; pela teoria de linha de sustentação (Prandtl) podemos usar a correção:
a = \frac{a_0}{1 + \dfrac{a_0}{\pi\,\mathrm{AR}\,e}},
onde e é o fator de eficiência (Oswald) da asa (adimensional, típico entre 0{,}8 e 0{,}95). Com a_0=2\pi essa expressão simplifica a:
a = \frac{2\pi}{1 + \dfrac{2}{\mathrm{AR}\,e}}.
Vou adotar e=0{,}9 como valor típico prático para uma asa de transporte moderadamente eficiente (explico em seguida o efeito de mudar e).
Agora calculo a com \mathrm{AR}=10 e e=0{,}9:
\dfrac{2}{\mathrm{AR}\,e} = \dfrac{2}{10\cdot 0{,}9} = \dfrac{2}{9} \approx 0{,}2222,
a = \frac{2\pi}{1 + 0{,}2222} = \frac{6{,}28318}{1{,}2222}\approx 5{,}141\\ \mathrm{rad^{-1}}.
Comentário pedagógico: esse valor significa que um aumento de 1 grau ( \approx 0{,}01745 rad) no \alpha aumenta C_L em aproximadamente 5{,}141\times 0{,}01745\approx 0{,}0897. Isso ajuda a ver ordens de grandeza.

Passo 4

Sobre \alpha_{L0} (ângulo de sustentação nula) para NACA 23015 e suposição necessária.
  • O enunciado fala que há curvas experimentais no livro para o perfil NACA 23015 em determinado número de Reynolds; essa figura não foi enviada aqui. O valor exato de \alpha_{L0} depende do camber do perfil e do Reynolds, e seria retirado diretamente da figura se ela estivesse disponível.
  • NACA 23015 é um perfil camberado (perfil com curva) e tipicamente apresenta \alpha_{L0} negativo (isto é, ele gera sustentação positiva mesmo em \alpha=0^\circ). Valores típicos para perfis camberados como esse estão na faixa de cerca de -1^\circ a -4^\circ, dependendo do camber e do Re.
  • Como o enunciado pediu para supor que o Re do problema seja próximo aos dados do livro, mas a figura não foi enviada, eu faço aqui uma suposição razoável e explícita: vou usar \alpha_{L0} = -2^\circ.Essa é uma escolha conservadora e plausível para um NACA camberado de 15% de espessura com camber moderado. Abaixo mostrarei a sensibilidade ao escolher \alpha_{L0}=-3^\circ (valor também plausível) para ver o efeito.

Passo 5

Cálculo do ângulo de ataque numérico com as quantidades obtidas.
Da relação linear:
\alpha - \alpha_{L0} = \frac{C_L}{a}.
Substituo C_L\approx 0{,}133548 e a\approx 5{,}141\\ \mathrm{rad^{-1}}:
\alpha - \alpha_{L0} = \frac{0{,}133548}{5{,}141} \approx 0{,}02597\\ \text{rad}.
Converto para graus (multiplicando por 180/\pi):
0{,}02597\\ \text{rad}\times \frac{180}{\pi} \approx 1{,}488^\circ.
Agora uso a suposição \alpha_{L0}=-2^\circ:
\alpha = \alpha_{L0} + 1{,}488^\circ = -2^\circ + 1{,}488^\circ = -0{,}512^\circ.
Ou seja, com \alpha_{L0}=-2^\circ a asa trabalha com ângulo de ataque levemente negativo (o camber do aerofólio já fornece a maior parte da sustentação necessária).
Sensibilidade: se em vez de -2^\circ o valor real fosse -3^\circ, então
\alpha = -3^\circ + 1{,}488^\circ = -1{,}512^\circ.
Se \alpha_{L0}=-1^\circ, então \alpha\approx -1^\circ + 1{,}488^\circ = 0{,}488^\circ.
Comentário: o resultado mostra que \alpha fica muito próximo de zero em módulo — a asa camberada faz praticamente todo o trabalho de sustentação em \alpha próximo de zero, o que é comum em aviões de transporte.

Passo 6

Avaliação de incertezas e conclusão pedagógica.
  • As principais fontes de incerteza são: o valor real de \alpha_{L0} do NACA 23015 nas condições de Reynolds correspondentes (essa informação estava na figura do livro que não foi fornecida) e o valor exato de e (usei e=0{,}9). Variações razoáveis nesses parâmetros movem \alpha por algumas décimas de grau.
  • O procedimento correto numa prova, se a figura do livro estiver disponível, é:
    1. Ler \alpha_{L0} e a inclinação a_0 (ou C_L(\alpha) diretamente) da figura para o Re indicado.
    2. Fazer a correção 3D da inclinação (se necessário) usando a fórmula de lifting-line ou usar diretamente a inclinação da asa se a figura já for da asa.
    3. Calcular C_L exigido por C_L=W/( \tfrac{1}{2}\rho V^2 S) e inverter C_L\mapsto\alpha.
Motivação final: com as suposições declaradas, o ângulo de ataque de cruzeiro fica levemente negativo, ordem de 1/2 grau negativo.

Resposta

\alpha \approx -0{,}51^\circ (usando \alpha_{L0}=-2^\circ, e=0{,}9; para \alpha_{L0}=-3^\circ obter-se-ia \alpha\approx -1{,}51^\circ).

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