Questão 2 (1 ponto)- Considere primeiro agua, depois óleo SAE 10 W escoamendo a 20^{\circ} \mathrm{C} em um tubo de 5 mm de diâmetro. Determine para cada fluido, a máxima vazão e qual o correspondente gradiente de pressão, para o qual é esperado escoamento laminar.

Passo 1

O enunciado pede, para cada fluido (primeiro água, depois óleo SAE 10W) escoando a 20^{\circ}\mathrm{C} em um tubo de diâmetro 5\\ \mathrm{mm}, determinar:
  • a máxima vazão para a qual se espera escoamento laminar;
  • o correspondente gradiente de pressão (queda de pressão por unidade de comprimento) associado a essa máxima vazão.
Dados fornecidos/assumidos e observações (peguei estes números como dados do problema):
  • diâmetro do tubo: D=0,005\\ \mathrm{m}.
  • temperatura: 20^{\circ}\mathrm{C} (usada apenas para escolher propriedades dos fluidos).
  • critério de escoamento laminar em tubo circular: Reynolds crítico aproximado escolhido \mathrm{Re}_{\text{crit}}=2300 (padrão em hidráulica para transição laminar-turbulento).
  • propriedades do fluido:
    • para a água a 20^{\circ}\mathrm{C} uso \rho_{\mathrm{w}}=998\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu_{\mathrm{w}}=1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (valores tabelados).
    • para o óleo SAE 10W não foi dada tabela; vou usar um valor típico representativo a 20^{\circ}\mathrm{C}: \rho_{\mathrm{o}}=870\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu_{\mathrm{o}}=0{,}20\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Obs.: propriedades reais do óleo variam com fabricante e composição; se tiver uma ficha técnica use esses valores no lugar dos meus. Vou explicitar isso porque o resultado depende fortemente de \mu.
O que vamos calcular em seguida: a partir de \mathrm{Re}=\dfrac{\rho v D}{\mu} obter a velocidade média máxima v_{\max} que mantém \mathrm{Re}=\mathrm{Re}_{\text{crit}}; depois converter para vazão Q=v_{\max}\,A com A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}; e calcular o gradiente de pressão para escoamento laminar totalmente desenvolvido usando a relação (equivalente a Hagen–Poiseuille)
\frac{dp}{dx}=\frac{128\,\mu\,Q}{\pi D^{4}} \quad\text{ou}\quad \frac{dp}{dx}=\frac{32\,\mu\,v}{D^{2}},
que explicarei no próximo passo.

Passo 2

Vamos às fórmulas e à física — passo a passo e com explicação mão na massa.
  1. Definição de Reynolds médio em tubo:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,v\,D}{\mu},
onde
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • v é a velocidade média do fluido no tubo ( \mathrm{m/s}),
  • D é o diâmetro interno do tubo ( \mathrm{m}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica (viscosidade absoluta) do fluido ( \mathrm{Pa\cdot s}).
Para manter escoamento laminar tomamos \mathrm{Re}\leq\mathrm{Re}_{\text{crit}}=2300. Isolando v com igualdade em \mathrm{Re}=\mathrm{Re}_{\text{crit}} obtemos a velocidade média máxima permitida:
v_{\max}=\frac{\mathrm{Re}_{\text{crit}}\,\mu}{\rho\,D}.
  1. Vazão volumétrica média (você usa isso na prova):
Q=v_{\max}\,A,\qquad A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Explicando: A é a área da secção transversal; a vazão é a velocidade média vezes a área.
  1. Gradiente de pressão para escoamento laminar (tubo circular, regime totalmente desenvolvido):
  • Uma forma prática, derivada do fator de atrito laminar f=64/\mathrm{Re} e da fórmula de perda de carga \dfrac{dp}{dx}= \dfrac{f\,\rho\,v^{2}}{2D}, resulta em
\frac{dp}{dx}=\frac{32\,\mu\,v}{D^{2}}.
  • Alternativamente, usando Q:
\frac{dp}{dx}=\frac{128\,\mu\,Q}{\pi D^{4}}.
Essas duas fórmulas são equivalentes (substituindo v=4Q/(\pi D^{2})). Ambas mostram que o gradiente de pressão cresce com \mu e com a velocidade / vazão.
Agora aplicar fórmulas com os números.

Passo 3

Cálculo passo a passo para a água ( \rho_{\mathrm{w}}=998\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu_{\mathrm{w}}=1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, D=0{,}005\\ \mathrm{m}, \mathrm{Re}_{\text{crit}}=2300).
  1. velocidade média máxima:
v_{\max,\mathrm{w}}=\frac{2300\cdot 1{,}002\times10^{-3}}{998\cdot 0{,}005}.
Calculemos numericamente:
  • numerador =2300\cdot 1{,}002\times10^{-3}=2{,}3046,
  • denominador =998\cdot 0{,}005=4{,}99.
    Logo
v_{\max,\mathrm{w}}=\frac{2{,}3046}{4{,}99}\approx 0{,}462\\ \mathrm{m/s}.
  1. área da secção:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}005)^{2}}{4}=\pi\cdot 6{,}25\times10^{-6}\approx 1{,}9635\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  1. vazão máxima:
Q_{\max,\mathrm{w}}=v_{\max,\mathrm{w}}\,A\approx 0{,}462\cdot 1{,}9635\times10^{-5}\approx 9{,}07\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s}.
Para termos uma unidade mais intuitiva:
Q_{\max,\mathrm{w}}\approx 9{,}07\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s}=0{,}00907\\ \mathrm{L/s}\approx 0{,}544\\ \mathrm{L/min}.

Passo 4

Gradiente de pressão correspondente para a água (uso \dfrac{dp}{dx}=\dfrac{32\,\mu\,v}{D^{2}}).
\frac{dp}{dx}\Big|_{\mathrm{w}}=\frac{32\cdot 1{,}002\times10^{-3}\cdot 0{,}462}{(0{,}005)^{2}}.
Calculemos:
  • numerador =32\cdot 1{,}002\times10^{-3}\cdot 0{,}462\approx 0{,}01482,
  • denominador =(0{,}005)^{2}=2{,}5\times10^{-5}.
    Logo
\frac{dp}{dx}\Big|_{\mathrm{w}}\approx \frac{0{,}01482}{2{,}5\times10^{-5}}\approx 5{,}93\times10^{2}\\ \mathrm{Pa/m}.
Ou seja aproximadamente 593\\ \mathrm{Pa/m} (ou 0{,}593\\ \mathrm{kPa/m}).

Passo 5

Cálculo para o óleo SAE 10W com as propriedades assumidas ( \rho_{\mathrm{o}}=870\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu_{\mathrm{o}}=0{,}20\\ \mathrm{Pa\cdot s}).
  1. velocidade média máxima:
v_{\max,\mathrm{o}}=\frac{2300\cdot 0{,}20}{870\cdot 0{,}005}.
Calculemos:
  • numerador =2300\cdot 0{,}20=460,
  • denominador =870\cdot 0{,}005=4{,}35.
    Logo
v_{\max,\mathrm{o}}=\frac{460}{4{,}35}\approx 105{,}75\\ \mathrm{m/s}.
Esse valor numericamente é grande — significado físico abaixo.
  1. vazão máxima:
Q_{\max,\mathrm{o}}=v_{\max,\mathrm{o}}\,A\approx 105{,}75\cdot 1{,}9635\times10^{-5}\approx 2{,}08\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
Em unidades práticas:
Q_{\max,\mathrm{o}}\approx 2{,}08\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}=2{,}08\\ \mathrm{L/s}\approx 124{,}8\\ \mathrm{L/min}.
  1. gradiente de pressão para o óleo:
\frac{dp}{dx}\Big|_{\mathrm{o}}=\frac{32\cdot 0{,}20\cdot 105{,}75}{(0{,}005)^{2}}.
Calculemos:
  • numerador =32\cdot 0{,}20\cdot 105{,}75=676{,}8,
  • denominador =2{,}5\times10^{-5}.
    Logo
\frac{dp}{dx}\Big|_{\mathrm{o}}\approx \frac{676{,}8}{2{,}5\times10^{-5}}\approx 2{,}71\times10^{7}\\ \mathrm{Pa/m}.
Isto é cerca de 2{,}71\times10^{7}\\ \mathrm{Pa/m}=27{,}1\\ \mathrm{MPa/m}, um valor extremamente grande.

Passo 6

Interpretação prática e observações (você vai gostar de saber isso quando cair na prova):
  • Matemática versus prática: para fluidos mais viscosos a velocidade que ainda satisfaz \mathrm{Re}<2300 pode ser numericamente muito alta (como vimos para o óleo). Porém isso não significa que é prático operar nessa velocidade: o gradiente de pressão necessário para empurrar o fluido cresce com a viscosidade e com a velocidade, e para o óleo os valores de \dfrac{dp}{dx} tornam-se absurdamente grandes (ordem de dezenas de MPa por metro), logo na prática não se consegue — o escoamento será limitado por capacidade de bomba/tubulação muito antes de atingir essa velocidade. Em outras palavras: o critério de Reynolds dá a condição para a natureza do escoamento (laminar vs turbulento), mas o projeto real é limitado por perdas de carga e potência necessária.
  • Sensibilidade: os resultados para o óleo dependem fortemente de \mu_{\mathrm{o}}. Se a viscosidade real for menor que a que assumi ( 0{,}20\\ \mathrm{Pa\cdot s}) os números mudam muito. Sempre consulte a ficha técnica do fluido.
  • Em prova: mostre os passos que fiz (usar \mathrm{Re}, isolar v, calcular Q, depois \dfrac{dp}{dx}) e explique que você assumiu \mathrm{Re}_{\text{crit}}=2300 e os valores de \rho,\mu usados — isso garante que o examinador saiba o que você usou.

Resposta

Água ( \,20^{\circ}\mathrm{C}, \rho=998\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}): Q_{\max}\approx 9{,}07\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0{,}544\\ \mathrm{L/min};\quad \dfrac{dp}{dx}\approx 5{,}93\times10^{2}\\ \mathrm{Pa/m}
Óleo SAE 10W (assumido \rho=870\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=0{,}20\\ \mathrm{Pa\cdot s}): Q_{\max}\approx 2{,}08\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 124{,}8\\ \mathrm{L/min};\quad \dfrac{dp}{dx}\approx 2{,}71\times10^{7}\\ \mathrm{Pa/m}

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