Questão 2 (1 ponto)- Considere primeiro agua, depois óleo SAE 10 W escoamendo a 20^{\circ} \mathrm{C} em um tubo de 5 mm de diâmetro. Determine para cada fluido, a máxima vazão e qual o correspondente gradiente de pressão, para o qual é esperado escoamento laminar.
Passo 1
O enunciado pede, para cada fluido (primeiro água, depois óleo SAE 10W) escoando a 20^{\circ}\mathrm{C} em um tubo de diâmetro 5\\ \mathrm{mm}, determinar:
a máxima vazão para a qual se espera escoamento laminar;
o correspondente gradiente de pressão (queda de pressão por unidade de comprimento) associado a essa máxima vazão.
Dados fornecidos/assumidos e observações (peguei estes números como dados do problema):
diâmetro do tubo: D=0,005\\ \mathrm{m}.
temperatura: 20^{\circ}\mathrm{C} (usada apenas para escolher propriedades dos fluidos).
critério de escoamento laminar em tubo circular: Reynolds crítico aproximado escolhido \mathrm{Re}_{\text{crit}}=2300 (padrão em hidráulica para transição laminar-turbulento).
propriedades do fluido:
para a água a 20^{\circ}\mathrm{C} uso \rho_{\mathrm{w}}=998\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu_{\mathrm{w}}=1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (valores tabelados).
para o óleo SAE 10W não foi dada tabela; vou usar um valor típico representativo a 20^{\circ}\mathrm{C}: \rho_{\mathrm{o}}=870\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu_{\mathrm{o}}=0{,}20\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Obs.: propriedades reais do óleo variam com fabricante e composição; se tiver uma ficha técnica use esses valores no lugar dos meus. Vou explicitar isso porque o resultado depende fortemente de \mu.
O que vamos calcular em seguida: a partir de \mathrm{Re}=\dfrac{\rho v D}{\mu} obter a velocidade média máxima v_{\max} que mantém \mathrm{Re}=\mathrm{Re}_{\text{crit}}; depois converter para vazão Q=v_{\max}\,A com A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}; e calcular o gradiente de pressão para escoamento laminar totalmente desenvolvido usando a relação (equivalente a Hagen–Poiseuille)
Vamos às fórmulas e à física — passo a passo e com explicação mão na massa.
Definição de Reynolds médio em tubo:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,v\,D}{\mu},
onde
\rho é a densidade do fluido (\mathrm{kg/m^3}),
v é a velocidade média do fluido no tubo (\mathrm{m/s}),
D é o diâmetro interno do tubo (\mathrm{m}),
\mu é a viscosidade dinâmica (viscosidade absoluta) do fluido (\mathrm{Pa\cdot s}).
Para manter escoamento laminar tomamos \mathrm{Re}\leq\mathrm{Re}_{\text{crit}}=2300. Isolando v com igualdade em \mathrm{Re}=\mathrm{Re}_{\text{crit}} obtemos a velocidade média máxima permitida:
Explicando: A é a área da secção transversal; a vazão é a velocidade média vezes a área.
Gradiente de pressão para escoamento laminar (tubo circular, regime totalmente desenvolvido):
Uma forma prática, derivada do fator de atrito laminar f=64/\mathrm{Re} e da fórmula de perda de carga \dfrac{dp}{dx}= \dfrac{f\,\rho\,v^{2}}{2D}, resulta em
\frac{dp}{dx}=\frac{32\,\mu\,v}{D^{2}}.
Alternativamente, usando Q:
\frac{dp}{dx}=\frac{128\,\mu\,Q}{\pi D^{4}}.
Essas duas fórmulas são equivalentes (substituindo v=4Q/(\pi D^{2})). Ambas mostram que o gradiente de pressão cresce com \mu e com a velocidade / vazão.
Agora aplicar fórmulas com os números.
Passo 3
Cálculo passo a passo para a água (\rho_{\mathrm{w}}=998\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu_{\mathrm{w}}=1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, D=0{,}005\\ \mathrm{m}, \mathrm{Re}_{\text{crit}}=2300).
Isto é cerca de 2{,}71\times10^{7}\\ \mathrm{Pa/m}=27{,}1\\ \mathrm{MPa/m}, um valor extremamente grande.
Passo 6
Interpretação prática e observações (você vai gostar de saber isso quando cair na prova):
Matemática versus prática: para fluidos mais viscosos a velocidade que ainda satisfaz \mathrm{Re}<2300 pode ser numericamente muito alta (como vimos para o óleo). Porém isso não significa que é prático operar nessa velocidade: o gradiente de pressão necessário para empurrar o fluido cresce com a viscosidade e com a velocidade, e para o óleo os valores de \dfrac{dp}{dx} tornam-se absurdamente grandes (ordem de dezenas de MPa por metro), logo na prática não se consegue — o escoamento será limitado por capacidade de bomba/tubulação muito antes de atingir essa velocidade. Em outras palavras: o critério de Reynolds dá a condição para a natureza do escoamento (laminar vs turbulento), mas o projeto real é limitado por perdas de carga e potência necessária.
Sensibilidade: os resultados para o óleo dependem fortemente de \mu_{\mathrm{o}}. Se a viscosidade real for menor que a que assumi (0{,}20\\ \mathrm{Pa\cdot s}) os números mudam muito. Sempre consulte a ficha técnica do fluido.
Em prova: mostre os passos que fiz (usar \mathrm{Re}, isolar v, calcular Q, depois \dfrac{dp}{dx}) e explique que você assumiu \mathrm{Re}_{\text{crit}}=2300 e os valores de \rho,\mu usados — isso garante que o examinador saiba o que você usou.