Questão 1 - (3,3 pontos) Aletas anulares são empregadas ao redor de um cilindro de um motor de um cortador de grama, de modo a dissipar calor. As aletas são feitas de uma liga de alumínio (
), têm
de espessura e se estendem 2 cm a partir da base até a ponta. O diâmetro externo do cilindro no motor é
. As condições operacionais de projeto são
e h
. K. A temperatura máxima permitida no cilindro é
. Estime a quantidade de transferência de calor de uma única aleta. Quantas aletas são necessárias para resfriar um motor de 3 kW , operando a 30% de eficiência térmica, se 50% do calor total liberado for transmitido pelas aletas?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- condutividade térmica da liga de alumínio:
. - espessura da aleta:
. - extensão radial da aleta (da base até a ponta):
. - diâmetro externo do cilindro (raiz da aleta):
→ raio do cilindro . - temperatura do ambiente:
. - coeficiente de convecção:
. - temperatura máxima no cilindro (base da aleta):
. - eficiência térmica do motor:
. - potência útil do motor:
. - Fração do calor total liberado que é transmitida pelas aletas:
.
O que o enunciado pede:
- Estimar a quantidade de transferência de calor de uma única aleta (ou seja,
em W). - Determinar quantas aletas são necessárias para resfriar o motor nas condições dadas.
Passo 2
Modelo físico e aproximação usada (explicação didática e intuitiva).
Uma aleta anular é uma aleta em forma de anel presa ao cilindro. A transferência de calor acontece por condução no metal da aleta (radialmente, da base para a ponta) e por convecção na superfície da aleta para o ar. A equação exata em coordenadas radiais leva a funções de Bessel, mas existe uma aproximação prática e muito usada que facilita muito os cálculos e dá resultados muito próximos quando a aleta é fina: “desenrolamos” a aleta anular como se fosse uma aleta retangular de largura igual à circunferência da base
, espessura
e comprimento
. Nessa visão unidimensional (temperatura varia principalmente ao longo do comprimento
), temos convecção nas duas faces da aleta (superior e inferior).
Essa aproximação é aceita quando a espessura é pequena e o comportamento é aproximadamente uniforme ao longo da circunferência — é o caso típico de aletas anulares finas.
Passos importantes do modelo:
- temperatura base da aleta (na raiz) é
; temperatura ambiente é ; - diferença de temperatura de base:
; - para uma aleta retangular com convecção nas duas faces, definimos
Esse tem unidades e relaciona a taxa de convecção externa com a capacidade de condução interna — dá a “escala” da queda de temperatura na aleta. - a taxa de calor por unidade de largura (por metro de largura) para uma aleta com convecção nas duas faces e terminação convectiva é aproximadamente
onde tem unidades (por metro de largura). - multiplicando por
obtemos o calor total por aleta:
Vou agora aplicar essas fórmulas com os números dados. (Observação: essa fórmula é a versão prática da solução da equação diferencial unidimensional para aleta com duas faces; o fator
aparece porque a aleta tem comprimento finito.)
Passo 3
Calcular os parâmetros numéricos iniciais e escrever as expressões que usaremos.
- diferença de temperatura na base:
- largura (circunferência) da aleta:
- parâmetro
: - expressão final usada:
Passo 4
Calcular
numericamente (mostrar contas passo a passo).
Substituindo
,
e
:
Logo
Passo 5
Calcular
. Primeiro
:
Para argumentos pequenos,
é aproximadamente
para
, mas aqui calculamos com mais precisão:
Passo 6
Calcular o fator
e, em seguida,
.
Calcular
:
Agora compute
:
Substituindo:
Fazendo as multiplicações em etapas:
Portanto, cada aleta transfere aproximadamente
. Podemos arredondar para duas cifras significativas úteis:
.
Passo 7
Calcular o número de aletas necessárias.
Primeiro, energia térmica liberada pelo motor que deve ser removida:
- O motor entrega
e tem eficiência térmica . Portanto a potência térmica que entra no motor é - A potência térmica rejeitada (calor a ser dissipado) é
Se
desse calor é transmitido pelas aletas, então o calor através de todas as aletas deve ser
Número de aletas necessário:
Como não podemos ter uma fração de aleta, arredondamos para cima:
Passo 8
Observações finais e validade das aproximações (curtinha e encorajadora).
- Resultado encontrado:
e aletas. - As principais aproximações feitas: a aleta foi tratada como “desenrolada” (aquecimento radial aproximado por um problema retangular unidimensional), e a área lateral fina foi considerada dominante (convecção nas duas faces). Para aletas finas e curtas como aqui (
, pequeno) essa aproximação é bastante razoável e usada em engenharia prática. - Se você quiser, posso mostrar a solução exata em termos de funções de Bessel e comparar o resultado numérico — mas na prova normalmente essa aproximação é a esperada por ser mais direta e prática. Força aí — tá tranquilo: já temos o número de aletas e o calor por aleta!