Questão 1 - (3,3 pontos) Aletas anulares são empregadas ao redor de um cilindro de um motor de um cortador de grama, de modo a dissipar calor. As aletas são feitas de uma liga de alumínio ( \mathrm{k}=46,4 \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ), têm 0,3 \mathrm{~cm} de espessura e se estendem 2 cm a partir da base até a ponta. O diâmetro externo do cilindro no motor é 0,3 \mathrm{~m}. As condições operacionais de projeto são \mathrm{T}_{\infty}=30^{\circ} \mathrm{C} e h =12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K. A temperatura máxima permitida no cilindro é 300^{\circ} \mathrm{C}. Estime a quantidade de transferência de calor de uma única aleta. Quantas aletas são necessárias para resfriar um motor de 3 kW , operando a 30% de eficiência térmica, se 50% do calor total liberado for transmitido pelas aletas?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • condutividade térmica da liga de alumínio: k=46{,}4\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • espessura da aleta: t=0{,}3\\ \mathrm{cm}=0{,}003\\ \mathrm{m}.
  • extensão radial da aleta (da base até a ponta): L=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro externo do cilindro (raiz da aleta): D=0{,}3\\ \mathrm{m} → raio do cilindro r_0=\tfrac{D}{2}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • temperatura do ambiente: T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}.
  • coeficiente de convecção: h=12\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • temperatura máxima no cilindro (base da aleta): T_b=300^\circ\mathrm{C}.
  • eficiência térmica do motor: \eta=30\% =0{,}30.
  • potência útil do motor: P_{out}=3{,}0\\ \mathrm{kW}=3000\\ \mathrm{W}.
  • Fração do calor total liberado que é transmitida pelas aletas: 50\%.
O que o enunciado pede:
  1. Estimar a quantidade de transferência de calor de uma única aleta (ou seja, q_{\text{aleta}} em W).
  2. Determinar quantas aletas são necessárias para resfriar o motor nas condições dadas.

Passo 2

Modelo físico e aproximação usada (explicação didática e intuitiva).
Uma aleta anular é uma aleta em forma de anel presa ao cilindro. A transferência de calor acontece por condução no metal da aleta (radialmente, da base para a ponta) e por convecção na superfície da aleta para o ar. A equação exata em coordenadas radiais leva a funções de Bessel, mas existe uma aproximação prática e muito usada que facilita muito os cálculos e dá resultados muito próximos quando a aleta é fina: “desenrolamos” a aleta anular como se fosse uma aleta retangular de largura igual à circunferência da base W=2\pi r_0, espessura t e comprimento L. Nessa visão unidimensional (temperatura varia principalmente ao longo do comprimento L), temos convecção nas duas faces da aleta (superior e inferior).
Essa aproximação é aceita quando a espessura é pequena e o comportamento é aproximadamente uniforme ao longo da circunferência — é o caso típico de aletas anulares finas.
Passos importantes do modelo:
  • temperatura base da aleta (na raiz) é T_b; temperatura ambiente é T_{\infty};
  • diferença de temperatura de base: \theta_b = T_b-T_{\infty};
  • para uma aleta retangular com convecção nas duas faces, definimos m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.Esse m tem unidades \mathrm{m^{-1}} e relaciona a taxa de convecção externa com a capacidade de condução interna — dá a “escala” da queda de temperatura na aleta.
  • a taxa de calor por unidade de largura (por metro de largura) para uma aleta com convecção nas duas faces e terminação convectiva é aproximadamente q'=\sqrt{2hk t}\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(mL),onde q' tem unidades \mathrm{W/m} (por metro de largura).
  • multiplicando por W=2\pi r_0 obtemos o calor total por aleta: q_{\text{aleta}} = W\,q' = 2\pi r_0\sqrt{2hk t}\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(mL).
Vou agora aplicar essas fórmulas com os números dados. (Observação: essa fórmula é a versão prática da solução da equação diferencial unidimensional para aleta com duas faces; o fator \operatorname{tanh}(mL) aparece porque a aleta tem comprimento finito.)

Passo 3

Calcular os parâmetros numéricos iniciais e escrever as expressões que usaremos.
  • diferença de temperatura na base: \theta_b = T_b - T_{\infty} = 300 - 30 = 270\\ \mathrm{K}.
  • largura (circunferência) da aleta: W = 2\pi r_0 = 2\pi(0{,}15)=0{,}94248\\ \mathrm{m}.
  • parâmetro m: m=\sqrt{\dfrac{2h}{k t}}.
  • expressão final usada: q_{\text{aleta}} = 2\pi r_0\,\sqrt{2hk t}\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(mL).

Passo 4

Calcular m numericamente (mostrar contas passo a passo).
Substituindo h=12, k=46{,}4 e t=0{,}003:
\dfrac{2h}{k t}=\dfrac{2\cdot 12}{46{,}4\cdot 0{,}003} = \dfrac{24}{0{,}1392} \approx 172{,}4138\\ \mathrm{m^{-2}}.
Logo
m=\sqrt{172{,}4138}\approx 13{,}13\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Calcular \operatorname{tanh}(mL). Primeiro mL:
mL = 13{,}13\times 0{,}02 = 0{,}2626.
Para argumentos pequenos, \operatorname{tanh}(x) é aproximadamente x para x\ll1, mas aqui calculamos com mais precisão:
\operatorname{tanh}(0{,}2626)\approx 0{,}2566.

Passo 6

Calcular o fator \sqrt{2hk t} e, em seguida, q_{\text{aleta}}.
Calcular \sqrt{2hk t}:
2 h k t = 2\cdot 12\cdot 46{,}4\cdot 0{,}003 = 3{,}3408,
\sqrt{2 h k t}=\sqrt{3{,}3408}\approx 1{,}8273\\ \mathrm{(unidade\\ W/(m\cdot K)\cdot m)^{1/2}}.
Agora compute q_{\text{aleta}}:
q_{\text{aleta}} = 2\pi r_0 \cdot \sqrt{2 h k t}\cdot \theta_b \cdot \operatorname{tanh}(mL).
Substituindo:
q_{\text{aleta}} \approx 0{,}94248 \times 1{,}8273 \times 270 \times 0{,}2566.
Fazendo as multiplicações em etapas:
0{,}94248\times 1{,}8273 \approx 1{,}722,
1{,}722 \times 270 \approx 464{,}94,
464{,}94 \times 0{,}2566 \approx 119{,}3\\ \mathrm{W}.
Portanto, cada aleta transfere aproximadamente 119{,}3\\ \mathrm{W}. Podemos arredondar para duas cifras significativas úteis: q_{\text{aleta}}\approx 119\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular o número de aletas necessárias.
Primeiro, energia térmica liberada pelo motor que deve ser removida:
  • O motor entrega P_{out}=3000\\ \mathrm{W} e tem eficiência térmica \eta=0{,}30. Portanto a potência térmica que entra no motor é Q_{\text{in}}=\dfrac{P_{out}}{\eta}=\dfrac{3000}{0{,}30}=10000\\ \mathrm{W}.
  • A potência térmica rejeitada (calor a ser dissipado) é Q_{\text{rej}}=Q_{\text{in}}-P_{out}=10000-3000=7000\\ \mathrm{W}.
Se 50\% desse calor é transmitido pelas aletas, então o calor através de todas as aletas deve ser
Q_{\text{aletas}} = 0{,}5\times Q_{\text{rej}} = 0{,}5\times 7000 = 3500\\ \mathrm{W}.
Número de aletas necessário:
N=\dfrac{Q_{\text{aletas}}}{q_{\text{aleta}}}=\dfrac{3500}{119{,}3}\approx 29{,}34.
Como não podemos ter uma fração de aleta, arredondamos para cima:
N=30\\ \text{aletas}.

Passo 8

Observações finais e validade das aproximações (curtinha e encorajadora).
  • Resultado encontrado: q_{\text{aleta}}\approx 119\\ \mathrm{W} e N=30 aletas.
  • As principais aproximações feitas: a aleta foi tratada como “desenrolada” (aquecimento radial aproximado por um problema retangular unidimensional), e a área lateral fina foi considerada dominante (convecção nas duas faces). Para aletas finas e curtas como aqui ( t\ll r_0, L pequeno) essa aproximação é bastante razoável e usada em engenharia prática.
  • Se você quiser, posso mostrar a solução exata em termos de funções de Bessel e comparar o resultado numérico — mas na prova normalmente essa aproximação é a esperada por ser mais direta e prática. Força aí — tá tranquilo: já temos o número de aletas e o calor por aleta!

Resposta

q_{\text{aleta}}\approx 119{,}3\\ \mathrm{W}
N=30\\ \text{aletas}

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