QUESTÃO 3 ( 2,5 PONTOS) - Vapor de água saturado à pressão atmosférica condensa sobre a superfície externa de 20 tubos com D=50 \mathrm{~mm}, L=5 \mathrm{~m}. Por esses tubos, ar entra a 35^{\circ} \mathrm{C}, com vazão (de cada tubo) de 0,05 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Em condições de escoamento completamente desenvolvidas, determine a temperatura de saída do ar e a taxa de transferência de calor total para os tubos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número de tubos: 20.
    • Diâmetro do tubo: D=50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do tubo: L=5{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Vazão mássica do ar por tubo: \dot m_{\mathrm{ar}}=0{,}05\\ \mathrm{kg/s} (por tubo).
    • Temperatura de entrada do ar: T_{\mathrm{in}}=35^\circ\mathrm{C}.
    • Vapor de água saturado à pressão atmosférica condensa sobre a superfície externa dos tubos.
  • O que é pedido:
    1. Determinar a temperatura de saída do ar em cada tubo, T_{\mathrm{out}}.
    2. Determinar a taxa de transferência de calor total para todos os tubos, \dot Q_{\mathrm{total}}.

Passo 2

Hipóteses e escolhas de método (explico por que e como usar cada uma):
  • A superfície externa dos tubos fica praticamente à temperatura de saturação do vapor, porque a condensação mantém a superfície muito próxima da temperatura de saturação. Para vapor d’água à pressão atmosférica a temperatura de saturação é T_s = 100^\circ\mathrm{C}.Vou assumir que a superfície externa do tubo tem temperatura T_s=100^\circ\mathrm{C} (resistência térmica do filme de condensação e da parede desprezível em comparação com a resistência convectiva do ar). Essa é uma hipótese padrão nestes problemas quando se quer a variação do ar.
  • O ar escoa internamente (pela leitura “por esses tubos, ar entra…”), em escoamento totalmente desenvolvido. O calor entra pela parede (a 100^\circ\mathrm{C}) e aquece o ar. Para o escoamento interno turbulento uso a correlação de Dittus–Boelter para obter o coeficiente convectivo interno h: \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},onde \mathrm{Nu}=hD/k. Para aquecimento do fluido (parede mais quente que o fluido) tomo n=0{,}4.
  • Faço o balanço de energia diferencial ao longo do tubo para relacionar h com a variação de temperatura do ar e obter T_{\mathrm{out}}. Esse método evita usar médias grosseiras e dá a fórmula exata (assumindo h constante ao longo do tubo).
  • Propriedades do ar (densidade \rho, viscosidade \mu, condutividade térmica k, calor específico c_p, número de Prandtl \mathrm{Pr}) serão avaliadas numa temperatura média apropriada. Vou começar com uma estimativa e, por consistência, verificar que a iteração não muda muito os resultados.

Passo 3

Fórmulas e geometria úteis (explicando cada variável):
  • Área da seção transversal (interna) do tubo: A = \frac{\pi D^2}{4},onde D é o diâmetro interno (aqui igual ao dado).
  • Área de troca (superfície interna onde o ar recebe calor): A_s = \pi D L.
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu},onde v é a velocidade média do ar no interior do tubo.
  • Velocidade média: v=\frac{\dot m_{\mathrm{ar}}}{\rho A}.
  • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k}.
  • Correlação Dittus–Boelter (já citada): \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4}, \qquad h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
  • Balanço de energia diferencial ao longo do tubo (por comprimento dx): \dot m_{\mathrm{ar}} c_p\,\frac{dT_b}{dx}=h\pi D\left(T_s-T_b\right),onde T_b(x) é a temperatura média do ar no ponto x (bulk temperature). Essa é uma EDO linear cujo resultado (integrando de 0 a L) é: T_{\mathrm{out}} = T_s - \left(T_s-T_{\mathrm{in}}\right)\exp\!\left(-\frac{h\pi D L}{\dot m_{\mathrm{ar}} c_p}\right).A quantidade adimensional \displaystyle \mathrm{NTU}=\frac{hA_s}{\dot m_{\mathrm{ar}} c_p} aparece naturalmente na solução.
  • Taxa de calor por tubo: \dot Q_{\mathrm{tube}} = \dot m_{\mathrm{ar}} c_p \left(T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}}\right).Taxa total: \dot Q_{\mathrm{total}} = N_{\mathrm{tubos}}\cdot \dot Q_{\mathrm{tube}}.

Passo 4

Valores geométricos calculados:
  • Seção transversal do tubo: A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}050)^2}{4}=0{,}0019635\\ \mathrm{m^2}.
  • Área de troca por tubo: A_s=\pi D L=\pi(0{,}050)(5{,}0)=0{,}7854\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Escolha inicial e propriedades termofísicas do ar
  • Tomamos T_s=100^\circ\mathrm{C} (saturação a 1 atm).
  • Para começar, usamos temperatura média inicial aproximada entre T_{\mathrm{in}}=35^\circ\mathrm{C} e T_s=100^\circ\mathrm{C}: T_{\mathrm{m,0}} = \frac{35+100}{2}=67{,}5^\circ\mathrm{C}\\ (\simeq 340{,}5\\ \mathrm{K}).
  • Propriedades do ar a T\approx 340\\ \mathrm{K} (valores típicos; aqui adoto valores razoáveis usados em problemas de prova): \rho \approx 1{,}09\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \mu \approx 2{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
k \approx 0{,}028\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad c_p \approx 1007\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Com isso
\mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k}\approx\frac{1007\cdot 2{,}00\times10^{-5}}{0{,}028}\approx 0{,}72.

Passo 6

Cálculo da velocidade média e do número de Reynolds
  • Velocidade média no tubo: v=\frac{\dot m_{\mathrm{ar}}}{\rho A}=\frac{0{,}05}{1{,}09\cdot 0{,}0019635} \approx 23{,}36\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}=\frac{1{,}09\cdot 23{,}36\cdot 0{,}050}{2{,}00\times10^{-5}} \approx 6{,}36\times 10^{4}.Como \mathrm{Re}\sim 6{,}4\times10^{4}, o escoamento é turbulento internamente (justifica usar Dittus–Boelter).

Passo 7

Cálculo de \mathrm{Nu}, h e NTU
  • Nusselt pela Dittus–Boelter (com n=0{,}4): \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4}.Substituindo números: \mathrm{Nu}\approx 0{,}023\,(6{,}36\times10^{4})^{0{,}8}\,(0{,}72)^{0{,}4}\approx 141.
  • Coeficiente convectivo interno: h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}=\frac{141\cdot 0{,}028}{0{,}050}\approx 79\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Número de transferência NTU para o comprimento total: \mathrm{NTU}=\frac{h A_s}{\dot m_{\mathrm{ar}} c_p}=\frac{79\cdot 0{,}7854}{0{,}05\cdot 1007} \approx 1{,}232.

Passo 8

Solução do balanço de energia e cálculo de T_{\mathrm{out}}
  • Usando a fórmula integrada: T_{\mathrm{out}} = T_s - \left(T_s-T_{\mathrm{in}}\right)\exp(-\mathrm{NTU}).Substituindo \mathrm{NTU}=1{,}232, T_s=100^\circ\mathrm{C}, T_{\mathrm{in}}=35^\circ\mathrm{C}: T_{\mathrm{out}} = 100 - (100-35)\,\mathrm{e}^{-1{,}232} =100 - 65\cdot 0{,}292 \approx 100 - 18{,}98 \approx 81{,}02^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Verificação rápida (iteração de propriedades)
  • A temperatura média real do ar ao longo do tubo é aproximadamente \displaystyle \frac{T_{\mathrm{in}}+T_{\mathrm{out}}}{2}=\frac{35+81{,}02}{2}\approx 58{,}0^\circ\mathrm{C}. Reavaliando propriedades do ar nessa temperatura os valores mudam pouco e a recomputação de h dá praticamente o mesmo resultado (valor de h permanece cerca de 79\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}). Logo a solução é consistente e converge rapidamente — não há necessidade de mais iterações.

Passo 10

Cálculo da taxa de calor por tubo e total
  • Taxa de calor por tubo: \dot Q_{\mathrm{tube}}=\dot m_{\mathrm{ar}} c_p (T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}}) =0{,}05\cdot 1007\cdot (81{,}02-35) \approx 2318{,}1\\ \mathrm{W}.
  • Taxa total para os 20 tubos: \dot Q_{\mathrm{total}}=20\cdot \dot Q_{\mathrm{tube}}\approx 20\cdot 2318{,}1 \approx 46{,}362\\ \mathrm{kW}.

Passo 11

Breve comentário final e checagem de plausibilidade
  • Temperatura de saída \approx 81^\circ\mathrm{C} é menor que 100^\circ\mathrm{C} (consistente: ar é aquecido mas não alcança a temperatura de saturação porque a razão de troca limitada).
  • A ordem de grandeza da transferência total ( \sim 46\\ \mathrm{kW}) é plausível para 20 tubos relativamente longos e ar em vazão moderada.
  • Observação: foi assumido que a superfície está à 100^\circ\mathrm{C} (condensação não limitada) e que a resistência principal é a convecção do ar. Se um enunciado pedisse, poderia avaliar explicitamente a resistência do filme de condensação; normalmente ela é muito pequena neste tipo de problema.

Resposta

T_{\mathrm{out}} \approx 81{,}0^\circ\mathrm{C}\n
\dot Q_{\mathrm{total}} \approx 46{,}36\\ \mathrm{kW}

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