1^a QUESTÃO (4 PONTOS)

Aletas longitudinais são utilizadas para promover o resfriamento de um motor. Elas são colocadas ao redor de um cilindro de diâmetro externo igual a 0,6 m e comprimento igual a 2 m que envolve o motor. As aletas são fabricadas em liga de alumínio ( k=55 W / m K ) possuem 0,3 cm de espessura, 8 cm de comprimento e há 10 mm de espaçamento entre elas. Agua a 300 K escoa através do conjunto a 1 m / s. Considerando que a temperatura na parede externa do cilindro é de 200^circ C, determine a taxa total de transferência de calor entre o sistema aletado e o fluido, sabendo que o coeficiente convectivo médio do sistema aletado pode ser aproximado supondo escoamento paralelo sobre uma placa plana. Determine também a taxa de transferência de calor por convecção entre o cilindro sem aletas e a água.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um cilindro (diâmetro externo 0,6 m, comprimento 2 m) refrigerado por aletas longitudinais de alumínio (k = 55 W/m·K), espessura 0,3 cm, comprimento 8 cm e espaçamento 10 mm. A água a 300 K escoa a 1 m/s. A parede do cilindro está a 200 °C.
Conteúdo da matéria:
  • Convecção forçada sobre placa plana (para achar o coef. de troca h)
  • Aletas retangulares: parâmetro m, eficiência η e cálculo de Q_fin
  • Cálculo de Q de base (área não aletada)
  • Cálculo de Q no cilindro sem aletas
O que vamos precisar:
  1. Propriedades da água a ~300 K (ν, k, Pr)
  2. Correlação de Nusselt para escoamento sobre placa plana (Re_L, Nu_L, h)
  3. Número de aletas N, área de cada aleta, parâmetro m e η
  4. Cálculo de Q para aletas e para a base exposta
  5. Cálculo de Q do cilindro sem aletas

Passo 2

Calcular o coeficiente convectivo médio h usando escoamento sobre placa plana de comprimento L = 2 m.
  1. Propriedades da água a 300 K (tabela):
    ν = 8,9·10⁻⁷ m²/s, k_f = 0,613 W/m·K, Pr ≈ 7
  2. Número de Reynolds sobre a placa: ReL = U,Lnu = 1,m/stimes 2,m8,9times10^-7,m^2/s approx 2,25times10^6 Como Re_L>5·10⁵, o escoamento está turbulento.
  3. Correlação para Nu médio (turbulento, superfície lisa): NuL = 0,037,ReL^4/5,Pr^1/3 NuL = 0,037,(2,25times10^6)^0,8,(7)^1/3 approx 8,6times10^3
  4. Logo, h = NuL,kfL = 8,6times10^3 times 0,6132 approx 2,63times10^3 W/m^2K

Passo 3

Determinar número de aletas e área de cada uma.
  1. Circunferência do cilindro: C = pi,D = pitimes0,6 approx 1,885 m
  2. Espaço ocupado por cada aleta+espaço livre: d = t + s = 0,003 + 0,010 = 0,013 m
  3. Número de aletas (aproximado): N = Cd approx 1,8850,013approx 145 a<=tas
  4. Área de uma aleta (duas faces): Afin = 2 times (comprimentoeixotimescomprimentoradial) = 2times(2, mtimes0,08, m) = 0,32 m^2

Passo 4

Calcular a eficiência η da aleta retangular (espessura t = 0,003 m, k = 55 W/mK, h = 2631 W/m²K, L = 0,08 m).
  1. Parâmetro m = raiz2,hk,t = raiz2times263155times0,003 approx 178,6 m^-1
  2. Comprimento adimensional m,L = 178,6times0,08 approx 14,29
  3. Eficiência (ponta isolada): eta = tanh(mL)mL approx 114,29 approx 0,070

Passo 5

Calcular a potência dissipada pelas aletas e pela base exposta. ΔT = T_parede – T_∞ = 200 °C – 27 °C ≈ 173 K.
  1. Calor por aleta: Qfin = eta,h,Afin,De
  2. Total aletas: Qfins,total = Ntimes Qfin = 145times1,03times10^4 approx 1,50times10^6 W
  3. Área da base exposta (cilindro entre as aletas): Abase = pi D L ;-; N,(ttimes L) = 1,885times2 ;-;145times(0,003times2) approx 2,90 m^2
  4. Calor da base: Qbase = h,Abase,De

Passo 6

Calcular a taxa total no sistema aletado e também para o cilindro sem aletas.
  1. Total aletado: Qtotal,a<=tas = Qfins,total + Qbase approx 1,50times10^6 + 1,32times10^6 = 2,82times10^6 W
  2. Cilindro sem aletas (área A_cil = πDL = 1,885×2 = 3,77 m²): Qcil, sem,a<=tas = h,(pi D L),De

Resposta

Q_total aletado ≈ 2,82 MW
Q_cilindro sem aletas ≈ 1,72 MW

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