Questão 3 (2,5 pontos) Considere a função f(x)=cx^2+11 se x<2 2, se x=2 9-x^2, se x>2.
a) ( 0 , 7 5 pontos) Calcule, se existir o limite lim x 2 f(x).
b) (1,0 ponto) Remova a descontinuidade da função f(x) para que seja contínua em x=2. Utilize as condições da definição de continuidade para justificar suas respostas.
c) (0,75 pontos) Verifique se f(x) é diferenciável em x=2.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2+11, & x<2, 2, & x=2, 9 - x^2,& x>2,
e pede:
  1. o limite limxto2f(x);
  2. remover a descontinuidade em x=2 para tornar f contínua aí;
  3. verificar se f é diferenciável em x=2.
    Vamos usar conceitos de limite, continuidade (definição via limites laterais e valor da função) e diferenciabilidade (exige continuidade prévia).

Passo 2

Calcular as limitações laterais em x=2:
limxto2^-f(x) =limxto2^-(x^2+11) =2^2+11 =15,
limxto2^+f(x) =limxto2^+(9 - x^2) =9 - 2^2 =5
Como limxto2^-f(x)=15neq5=limxto2^+f(x), o limite limxto2f(x) não existe.

Passo 3

Definição de continuidade em x=2: é necessário que
limxto2f(x)exista e seja igual a f(2)
Aqui o limite não existe, portanto não há valor de f(2) que o faça coincidir com os dois lados. Logo, a descontinuidade em x=2 é do tipo “salto” e não é removível apenas redefinindo f(2).
Para tornar a função contínua em 2 seria preciso alterar também uma das duas fórmulas em x<2 ou em x>2 de modo que ambas as limitações laterais coincidam. Por exemplo, poderíamos unificar as duas expressões numa única, como
g(x)=x^2+11forall x,
ou
g(x)=9 - x^2forall x,
e então definir g(2) igual ao valor comum. Assim teríamos continuidade em 2.

Passo 4

Para que f fosse diferenciável em x=2 seria necessário, antes de tudo, que f fosse contínua em 2. Como já vimos que há descontinuidade em x=2, concluímos que f não é diferenciável em x=2.

Resposta

a) limxto2f(x) não existe.
b) A descontinuidade em 2 é de salto (limites laterais diferentes) e não se remove apenas redefinindo f(2); seria preciso ajustar também a expressão em x<2 ou em x>2 para que as duas limitações coincidam.
c) f não é diferenciável em x=2.

Exercícios relacionados