Questão 3 (3 pontos) - Um aviăo de transporte pode operar 12 h por dia, 6 dias por semana. Sua velocidade de cruzeiro é de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O consumo de combustível é de 0,05 \mathrm{~kg} / hora para cada Newton de força de empuxo produzida. Considere a massa total de 2500 Kg , atmosfera padrão, as asas tem 30 m 2 de área planiforme efetiva, razão de aspecto 10 , projetadas com o perfil NACA 23015 , supondo que o número de Reynolds do problema seja próximo aos dados publicados na figura do livro texto, determine
(c) a potência consumida para manter esta velocidade em condições de atmosfera padrão.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (listei tudo claramente):
  • Pedido: calcular a potência consumida para manter a velocidade de cruzeiro dada em condições de atmosfera padrão.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade de cruzeiro \,V=100\\ \mathrm{m/s}\,;
    • massa total do avião \,m=2500\\ \mathrm{kg}\,;
    • área da asa \,S=30\\ \mathrm{m^2}\,;
    • razão de aspecto \,\mathrm{AR}=10\; (razão de aspecto da asa);
    • perfil da asa: NACA 23015 (nos diz que o perfil é razoavelmente espesso e camberado);
    • consumo de combustível: \,0{,}05\\ \mathrm{kg/h} por cada \,1\\ \mathrm{N} de empuxo produzido (informação útil se quisermos associar potência a consumo de combustível, mas não é necessária para calcular a potência mecânica básica).
  • Condição do ar: atmosfera padrão (assumo densidade ao nível do mar \,\rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}\, salvo indicação em contrário).
    Observação importante: o enunciado menciona o número de Reynolds e figura do livro, mas essa figura não foi enviada. Para proceder preciso estimar um valor razoável para o coeficiente de arrasto de perfil ( C_{D_0}). Vou justificar e explicitar essa estimativa nos passos seguintes; se for necessária maior precisão na prova, use os dados de C_{D_0} do livro/texto.

Passo 2

Entendimento físico e estratégia de cálculo (sem cálculos ainda):
  • Em voo nivelado e em velocidade constante, a força de empuxo T necessária é igual ao arrasto D: T = D.
  • A potência útil (ou potência de propulsão) mínima que o motor deve fornecer para manter essa velocidade é a potência para vencer o arrasto: P = D \, V.(Unidade: \mathrm{N}\cdot\mathrm{m/s} = \mathrm{W}.)
  • Então o problema reduz-se a calcular o arrasto D em cruzeiro. Para isso usamos a fórmula: D = \tfrac{1}{2}\,\rho V^{2} S C_{D},onde C_{D} é o coeficiente de arrasto total da aeronave/asa no regime de cruzeiro.
  • O coeficiente de arrasto pode ser escrito (modelo clássico) como soma de arrasto parasita (de perfil) e arrasto induzido: C_{D} = C_{D_0} + C_{D_i},com C_{D_i} = \frac{C_{L}^{2}}{\pi e \, \mathrm{AR}},onde:
    • C_{D_0} é o coeficiente de arrasto parasita (perfil + viscoso etc.);
    • C_{L} é o coeficiente de sustentação;
    • e é a eficiência de ponta (span efficiency factor), tipicamente entre \,0{,}7 e \,0{,}95 dependendo da distribuição de sustentação e geometria; vou escolher um valor físico e justificar;
    • \mathrm{AR} é a razão de aspecto (dada).
  • Para encontrar C_{L} usamos a condição de equilíbrio vertical (sustentação = peso): L = W = m g,\qquad L = \tfrac{1}{2}\rho V^{2} S C_{L}.Assim C_{L} = \frac{m g}{\tfrac{1}{2}\rho V^{2} S}.

Passo 3

Cálculo do coeficiente de sustentação C_{L} exigido no cruzeiro:
  • Peso (força): W = m g = 2500\cdot 9{,}81 = 24525\\ \mathrm{N}.
  • Pressão dinâmica: q=\tfrac{1}{2}\rho V^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}225\cdot 100^{2}=6125\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Portanto C_{L}=\frac{W}{q S}=\frac{24525}{6125\cdot 30}=\frac{24525}{183750}\approx 0{,}1335.
Breve interpretação: \,C_{L}\approx 0{,}13 é um valor baixo — típico de uma aeronave de transporte em cruzeiro rápido com asa relativamente grande; mostra que a asa gera sustentação suficiente com ângulo de ataque pequeno.

Passo 4

Estimativa do arrasto induzido C_{D_i}:
  • Usamos a fórmula C_{D_i}=\frac{C_{L}^{2}}{\pi e \,\mathrm{AR}}.
  • Escolhas justificadas:
    • \mathrm{AR}=10 (dado).
    • Para e (eficiência de ponta): para asas sem dispositivos de ponta muito avançados, um valor típico é e\approx 0{,}8 a 0{,}85. Vou usar e=0{,}8 como estimativa conservadora (se a asa tiver boa aerodinâmica, e pode ser maior, reduzindo o arrasto induzido).
  • Cálculo: C_{L}^{2}=(0{,}1335)^{2}\approx 0{,}01782.
\pi e \,\mathrm{AR}=\pi\cdot 0{,}8\cdot 10\approx 25{,}1327.
C_{D_i}=\frac{0{,}01782}{25{,}1327}\approx 0{,}000709.
Interpretação: o arrasto induzido é muito pequeno neste regime (como esperado, porque C_{L} é baixo). A maior parcela do arrasto será o arrasto parasita C_{D_0}.

Passo 5

Estimativa do coeficiente de arrasto parasita C_{D_0} (explicando a escolha):
  • O enunciado referiu dados do livro para o perfil NACA 23015 em certo número de Reynolds; sem essa figura/ tabela não tenho um C_{D_0} exato. Em problemas práticos usa-se um valor típico para aeronaves desse porte:
    • perfis de asa e fuselagem de aviões leves/transportes pequenos costumam ter C_{D_0} da ordem de 0{,}01 a 0{,}03, dependendo da limpeza do arranjo e das interferências.
  • Vou assumir um valor razoável e moderado: C_{D_0}=0{,}015.(Se na sua prova o livro der um valor diferente, substitua aqui.)
  • Assim o coeficiente de arrasto total é C_{D}=C_{D_0}+C_{D_i}=0{,}015+0{,}000709\approx 0{,}015709.

Passo 6

Cálculo do arrasto D e da potência P:
  • Arrasto: D=\tfrac{1}{2}\rho V^{2} S C_{D}=q S C_{D}.Já tínhamos q S=6125\cdot 30=183750. D=183750\cdot 0{,}015709\approx 2886{,}54\\ \mathrm{N}.
  • Potência necessária para vencer o arrasto: P = D\,V = 2886{,}54\cdot 100 \approx 288654\\ \mathrm{W}.
  • Para ficar em unidades usuais: P\approx 2{,}89\times 10^{5}\\ \mathrm{W}\approx 289\\ \mathrm{kW}.Em cavalos-vapor: P\approx \frac{288654}{746}\approx 387\\ \mathrm{hp}.

Passo 7

Comentários finais, verificação de sensibilidade e incentivo
  • Sensibilidade: se C_{D_0} for menor (por exemplo 0{,}010) a potência cai sensivelmente; por outro lado, se e for maior (por exemplo 0{,}85) o termo induzido diminui ainda mais, mas neste caso o termo induzido já era pequeno. Portanto a maior incerteza vem de C_{D_0}.
  • Para uma resposta de prova: explique que foi usada a decomposição C_{D}=C_{D_0}+C_{L}^2/(\pi e \mathrm{AR}), compute C_{L} a partir do equilíbrio L=W, estime/pegue C_{D_0} do livro (se disponível) e então calcule D e P=D V.
  • Força: você já chegou bem longe — mesmo sem ter o livro na mão conseguimos um procedimento claro e um resultado com justificativas. Vai dar certo! 😃

Resposta

P \approx 2{,}89\times 10^{5}\\ \mathrm{W} \approx 289\\ \mathrm{kW}

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